Kompleks ligning
Posted: 28/12-2009 16:48
[tex]1+iz-z^2-iz^3+z^4=0[/tex]
Hvordan løser man denne ligningen?
På forhånd takk!
Hvordan løser man denne ligningen?
På forhånd takk!
Page 1 of 1
Posted: 28/12-2009 18:17
Legg merke til at venstresiden også kan skrives som [tex]1+iz+(iz)^2+(iz)^3+(iz)^4[/tex]. Gjør du substitusjonen [tex]w=iz[/tex] blir likningen [tex]1+w+w^2+w^3+w^4=0[/tex], og denne tar du kanskje selv?
Posted: 28/12-2009 20:06
Prøver å få andregradslikning av den fjerdegradsligning som du viser til med ukjent w.
Dermed setter jeg [tex]\: w^2=u[/tex]
og får:
[tex]u^2+uw+u+w+1=0[/tex]
Hvordan løser man denne da?Hvis det ikke skal løses slik videre med en andregradsformel, hvordan skal den fjergradslikningen med w som ukjent løses da?Isåfall når jeg prøver å løse med andregradsformelen så får jeg en komplisert kvadratrot i andregradsformelen sammen med annet....
Dermed setter jeg [tex]\: w^2=u[/tex]
og får:
[tex]u^2+uw+u+w+1=0[/tex]
Hvordan løser man denne da?Hvis det ikke skal løses slik videre med en andregradsformel, hvordan skal den fjergradslikningen med w som ukjent løses da?Isåfall når jeg prøver å løse med andregradsformelen så får jeg en komplisert kvadratrot i andregradsformelen sammen med annet....
Posted: 28/12-2009 20:33
Hint:
[tex]1+x+x^2+...+x^r=\frac{1-x^{r+1}}{1-x}[/tex]
[tex]1+x+x^2+...+x^r=\frac{1-x^{r+1}}{1-x}[/tex]
Posted: 28/12-2009 20:59
Den fremgangsmåten funker bare når du har polynomer på formenWentworth wrote:Prøver å få andregradslikning av den fjerdegradsligning som du viser til med ukjent w.
[tex]x^{2n} + x^n + c[/tex].
Posted: 29/12-2009 15:42
Enig, og da får jeg:
[tex]w^5=1[/tex]
[tex](iz)^5=1[/tex]
[tex]iz^5=1[/tex]
Ganger med -i på begge sider og får:
[tex]z^5=-i[/tex]
Dermed er røttene til z^5=-i:
[tex]z_1=e^{i \frac{3 \pi}{10}} \: , \: z_2=e^{i \frac{7 \pi}{10}} \: , \: z_3=e^{i \frac{11 \pi}{10}} \: , \: z_4=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \: ,\:z_5=e^{i \frac{19 \pi}{10}} \: [/tex]
[tex]w^5=1[/tex]
[tex](iz)^5=1[/tex]
[tex]iz^5=1[/tex]
Ganger med -i på begge sider og får:
[tex]z^5=-i[/tex]
Dermed er røttene til z^5=-i:
[tex]z_1=e^{i \frac{3 \pi}{10}} \: , \: z_2=e^{i \frac{7 \pi}{10}} \: , \: z_3=e^{i \frac{11 \pi}{10}} \: , \: z_4=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \: ,\:z_5=e^{i \frac{19 \pi}{10}} \: [/tex]
Posted: 29/12-2009 16:32
Det virker da veldig merkelig at du skal ha et fjerdegradspolynom med fem forskjellige røtter?
Posted: 29/12-2009 17:02
Posted: 29/12-2009 17:55
Jeg skjønner ikke hvordan du ender opp med w^5 = 1...
Hvordan gikk du frem for å få det?
Hvordan gikk du frem for å få det?
Posted: 29/12-2009 18:34
Han brukte nok Fredriks metode med sum av geometrisk rekke og gikk fra
[tex]\frac{w^5-1}{w-1}=0[/tex]
til
[tex]w^5=1\,,\,w\neq1[/tex]
Dermed er [tex]z_4[/tex] til Wentworth over ikke en løsning, som man kan se ved å sette [tex]z=-i[/tex] inn i det opprinnelige polynomet.
[tex]\frac{w^5-1}{w-1}=0[/tex]
til
[tex]w^5=1\,,\,w\neq1[/tex]
Dermed er [tex]z_4[/tex] til Wentworth over ikke en løsning, som man kan se ved å sette [tex]z=-i[/tex] inn i det opprinnelige polynomet.
Posted: 29/12-2009 19:08
¡Por supuesto! 
Posted: 30/12-2009 15:20
Husk nå at røttene jeg har oppgitt altså disse røttene :
[tex]z_1=e^{i \frac{3 \pi}{10}} \: , \: z_2=e^{i \frac{7 \pi}{10}} \: , \: z_3=e^{i \frac{11 \pi}{10}} \: , \: z_4=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \: ,\:z_5=e^{i \frac{19 \pi}{10}} \: [/tex]
er røttene til [tex]\: z^5=-i \:[/tex].
Men vi har jo forutsatt å finne røttene til fjerdegradsligningen oppført i første innlegg i tråden.Dermed er det bare 4 røtter som er løsninger for denne 4.gradsligningen.Og da er det vel opplagt at siden z^5=-i , så er det denne løsningen z_4 som uteblir, for denne gir løsningen for z=-i ( som er en av løsningene til w^5=1 eller z^5=-i), men vi er ikke ute etter denne.Dermed er de andre 4 løsningene som også noen her har sjekka via wolframalpha, er de korekte.
[tex]z_1=e^{i \frac{3 \pi}{10}} \: , \: z_2=e^{i \frac{7 \pi}{10}} \: , \: z_3=e^{i \frac{11 \pi}{10}} \: , \: z_4=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \: ,\:z_5=e^{i \frac{19 \pi}{10}} \: [/tex]
er røttene til [tex]\: z^5=-i \:[/tex].
Men vi har jo forutsatt å finne røttene til fjerdegradsligningen oppført i første innlegg i tråden.Dermed er det bare 4 røtter som er løsninger for denne 4.gradsligningen.Og da er det vel opplagt at siden z^5=-i , så er det denne løsningen z_4 som uteblir, for denne gir løsningen for z=-i ( som er en av løsningene til w^5=1 eller z^5=-i), men vi er ikke ute etter denne.Dermed er de andre 4 løsningene som også noen her har sjekka via wolframalpha, er de korekte.