x som eksponent, Lambert W funksjon
Posted: 04/01-2010 17:21
Hei!, jeg har to funksjoner som jeg gjerne ville finne kryssningspunktet mellom. Nemlig
[tex]f(x) \, = \, 4x[/tex] og [tex]g(x) \, = \, 2^x[/tex]
Hvordan gjør jeg det ? Fungerte ikke med vanlige logaritmeregler og kalkulatoren gav meg noe merkelige Lambert W greier...
Noen som gidder å hjelpe ?
Leste litt om Lambert W funksjoner på wikipedia, ble ikke så mye klokere. Men fant en løsning på en lignende oppgave. Her er foreløbig utkast til løsning. Kan noen forklare meg hva som skjer mellom linjene... Kanskje det bare er meg som er svak i algebraen, men dette er uklart!
[tex] {2^x} = 4x [/tex]
[tex] 1 = \frac{{4x}}{{{2^x}}} [/tex]
[tex] 1 = 4x{\rm{ }}{{\rm{e}}^{ - x\log \left( 2 \right)}}[/tex]
[tex] \frac{1}{4} = x{\rm{ }}{{\rm{e}}^{ - x\log \left( 2 \right)}} [/tex]
[tex] \frac{{ - \log \left( 2 \right)}}{4} = \left( { - x\log \left( 2 \right)} \right){e^{\left( { - x\left( {\log \left( 2 \right)} \right)} \right)}} [/tex]
[tex] - x\log \left( 2 \right) = W\left( {\frac{{ - \log \left( 2 \right)}}{4}} \right) [/tex]
[tex] x = \frac{{ - W\left( {\frac{{ - \log \left( 2 \right)}}{4}} \right)}}{{\log \left( 2 \right)}} [/tex]
Hadde vært gull om noen forklarte hva som skjedde mellom linjene
Her ser jeg at jeg får en løsning, burde jeg ikke få to med tanke på at den ene funksjonen er eksponensiel og den andre er linær ?
Videre ser jeg jo at [tex]x=4[/tex] er en løsning, men aner ikke hvordan jeg finner denne via regning...
[tex]f(x) \, = \, 4x[/tex] og [tex]g(x) \, = \, 2^x[/tex]
Hvordan gjør jeg det ? Fungerte ikke med vanlige logaritmeregler og kalkulatoren gav meg noe merkelige Lambert W greier...
Noen som gidder å hjelpe ?
Leste litt om Lambert W funksjoner på wikipedia, ble ikke så mye klokere. Men fant en løsning på en lignende oppgave. Her er foreløbig utkast til løsning. Kan noen forklare meg hva som skjer mellom linjene... Kanskje det bare er meg som er svak i algebraen, men dette er uklart!
[tex] {2^x} = 4x [/tex]
[tex] 1 = \frac{{4x}}{{{2^x}}} [/tex]
[tex] 1 = 4x{\rm{ }}{{\rm{e}}^{ - x\log \left( 2 \right)}}[/tex]
[tex] \frac{1}{4} = x{\rm{ }}{{\rm{e}}^{ - x\log \left( 2 \right)}} [/tex]
[tex] \frac{{ - \log \left( 2 \right)}}{4} = \left( { - x\log \left( 2 \right)} \right){e^{\left( { - x\left( {\log \left( 2 \right)} \right)} \right)}} [/tex]
[tex] - x\log \left( 2 \right) = W\left( {\frac{{ - \log \left( 2 \right)}}{4}} \right) [/tex]
[tex] x = \frac{{ - W\left( {\frac{{ - \log \left( 2 \right)}}{4}} \right)}}{{\log \left( 2 \right)}} [/tex]
Hadde vært gull om noen forklarte hva som skjedde mellom linjene
Her ser jeg at jeg får en løsning, burde jeg ikke få to med tanke på at den ene funksjonen er eksponensiel og den andre er linær ?
Videre ser jeg jo at [tex]x=4[/tex] er en løsning, men aner ikke hvordan jeg finner denne via regning...