matematikk.net

Jeg stusser litt på definisjonen av deriverbarhet i "Flervariabel analyse m. lineær algebra" der det står at en funksjon er deriverbar i et indre punkt a hvis

[tex]\sigma (r) = f(a + r) - f(a) - \nabla f(a) r[/tex]

går mot null fortere enn r. Dvs at

[tex]\lim_{r \to 0} \frac{\sigma (r)}{|r|} = 0[/tex]

Jeg har sett andre definisjoner på deriverbarhet som jeg personlig synes ga mere intuitiv mening, men det kan være fordi jeg rett og slett ikke forstår denne. Jeg vet at [tex]\nabla f(a) r[/tex] tilsvarer den retningsderiverte i a, men var er det da egentlig denne funksjonen [tex]\sigma (r)[/tex] representerer.. en differens mellom?

Noen som har noen opplysende forklaringer på denne definisjonen?

Legg merke til at [tex]f(a+r) - f(a)[/tex] tilsvarer endringen når vi går fra et punkt [tex]a[/tex] i retning og avstand [tex]r[/tex]. Vi vil også at den retningsderiverte skal være rimelig lik denne, og bli likere og likere jo mindre skritt vi tar. Du ser at [tex]\sigma(r) = f(a+r)-f(a)-\nabla f(a) r = (f(a+r)-f(a))-\nabla f(a) r[/tex], og kan altså sees på som et 'mål' på hvor ulike endringen i funksjonen og den retningsderiverte er. I definisjonen på deriverbarhet krever vi altså at den retningsderiverte skal 'passe' med funksjonens faktiske endring.