Page 1 of 1

Rotasjonslegeme fra sirkelligning

Posted: 14/01-2010 00:22
by ogsv
Long time reader, first time poster :)

Har en oppgave som lyder:
En sirkel med radius R er i kartesiske kooordinater (x; y) beskrevet ved relasjonen [tex]\frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2}=1[/tex] når sirkelens sentrum ligger i origo.
Beregn volumet av en kule med radius R ved å se på denne som det indre av rotasjonsflaten som dannes når sirkelen ovenfor roteres om x-aksen.

Denne relasjonen er vel bare [tex]x^2+y^2=R^2[/tex] skrevet på en annen måte... Men jeg trenger definitivt et vennlig spark i riktig retning for å komme igang :wink:

Posted: 14/01-2010 09:30
by Betelgeuse
Hvis du nå løser ut for y og bruker den positive roten, dvs

[tex]y = \sqrt{R^2 - x^2}[/tex]

har du formelen for en halvsirkel. Har du nå lært om omdreiningslegemer ved integrasjon? :)

Posted: 14/01-2010 14:02
by ogsv
Hmm... Tenke høyt...

[tex]\Pi \int_a^b \! (\sqrt{R^2-x^2})^2 \, dx \,= \Pi \int_a^b \! (R^2-x^2) \, dx = \frac{4 \Pi R^3}{3}[/tex]
...hvor a = -R og b = R
...?
Så vi har akkurat utleder formelen for volumet av en kule? How grand :)

Posted: 14/01-2010 14:05
by Betelgeuse
Eeexactly ;)

Posted: 14/01-2010 15:26
by ogsv
Så irriterende trivielt.. hehe.. Takk for hjelpen anyways :D

Posted: 19/01-2010 23:16
by ogsv
I dag prøvde jeg å gjøre det samme som i andre/tredje post, men for en elipse / avlang sfæroid hvor A er radius i x-retning og B i y- og z-retning, altså:

[tex]\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1[/tex]

[tex]y = \pm \sqrt{B^2 - \frac{B^2 x^2}{A^2}}[/tex]

[tex]\Pi \int_a^A \! B^2 - \frac{B^2 x^2}{A^2} \, dx[/tex]

men herfra blir det bare krøll nå... klarer åpenbart ikke å holde tunga rett i munnen etter 15 timer jobbing :P

Posted: 19/01-2010 23:25
by espen180
A er "semiradien" i x-retningen, så integrer mellom -A og A. :)

Posted: 19/01-2010 23:40
by ogsv
espen180 wrote:A er "semiradien" i x-retningen, så integrer mellom -A og A. :)
Det er det jeg prøver :) Så nå at jeg hadde skrevet "a" istedenfor "-A" på nedre grense, siden LaTeX ikke liker negative grenser :P
Mulig denne bare må ligge til lunsj i morgen, klarer ikke å integrere en brøk nå :|

Posted: 20/01-2010 00:13
by Janhaa
ogsv wrote:
espen180 wrote:A er "semiradien" i x-retningen, så integrer mellom -A og A. :)
Det er det jeg prøver :) Så nå at jeg hadde skrevet "a" istedenfor "-A" på nedre grense, siden LaTeX ikke liker negative grenser :P
Mulig denne bare må ligge til lunsj i morgen, klarer ikke å integrere en brøk nå :|
nå har jeg ikke sett på oppgava igjennom, men integrasjonen blir:

[tex]V=\pi \int_c ( B^2 - \frac{B^2 x^2}{A^2}) \, dx=\pi[B^2x\,-\,{1\over 3}\frac{B^2}{A^2}x^3]_c[/tex]