Page 1 of 1

Statistikk, basic...

Posted: 19/01-2010 12:28
by meCarnival
Begynt på nytt med statistikken og skal kunne dette utenat når jeg er ferdig... Alt gått i glemme boka og leser for meg selv før forelesning...

Begynner med basic og lurer litt på diverse da...

Oppgave 1
En mynt kastes to ganger og undersøker rekkefølgen av krone og mynt.
a) Tegn opp de mulig utfall
MM
MK
KM
KK

b) Finn sannsynligheten for å få
1) Krone to ganger
2) To mynt
3) En av hver

c) Legg sammen svarene i b) og kommenter svaret
Det blir en og dermed har jeg vært igjennom alle mulige utfall...

Oppgave 2
Kaster to terninger. Sett opp mulige utfall og finn sannsynligheten for å få:
11, 12, 13, 14, 15, 16
21, 22, 23, 24, 25, 26
31, 32, 33, 34, 35, 36
41, 42, 43, 44, 45, 46
51, 52, 53, 54, 55, 56
61, 62, 63, 64, 65, 66

a) To enere
[tex]P(1 \, then \, 1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}[/tex]

b) Sum lik 6

c) Først 2, så 3
[tex]P(2 \, then \, 3) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}[/tex]

d) Sum minst lik 7

e) 4, 5 eller 6 i første og 1, 2, 3 eller 4 i andre

f) minst en sekser
[tex]P(minst \, en \, sekser) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}[/tex]

g) én toer

h) én toer dersom summen er 6

Føler det blir det samme på flere... Sittet en stund, så irriterer meg når jeg sitter lengre, blir fort ukonsentrert for videre lesing siden jeg vet dette er helt basic... :?
Likte variasjonen etter hva han skal ha tak i her, derfor jeg vil kunne disse oppgaven... Gjerne kom med flere alternativer... :)

Posted: 19/01-2010 16:27
by Nebuchadnezzar
Skal svare deg på så mange som jeg klarer.

Reserverer denne posten inntill videre, men du kan jo skrive hvordan du har tenkt. Eventuelt ligger det masse videoer på nettet som forklarer dette veldig grundig.
Oppgave 1
En mynt kastes to ganger og undersøker rekkefølgen av krone og mynt.
a) Tegn opp de mulig utfall
MM
MK
KM
KK
Her ser vi at for et utfall har vi to muligheter, nemlig kron eller mynt. Regner med at vi ikke tar med høykant... Når vi kaster mynten to ganger så får vi fire utvalg.
Generellt sett med [tex]n[/tex] myntkast så kan vi si at antall mulige utfall blir [tex]2^n[/tex]
b) Finn sannsynligheten for å få
1) Krone to ganger
2) To mynt
3) En av hver
1)
Sannsynligheten for kron [tex]= \frac{1}{2}[/tex]
Sannsynligheten for mynt igjen [tex]= \frac{1}{2} [/tex]

[tex]\frac{1}{2} \, \cdot \,\frac{1}{2} \, = \, \frac{1}{4}[/tex]

2) To mynt det er det samme som 2kron. Siden vi antar at det er like stor sannsynlighet for mynt som krone. Dermed er sannsynligheten for to mynt [tex]= \frac{1}{4}[/tex]

3) Sannsynligheten for en av hver. Da kan vi først få mynt også korn, eller så kan vi først få kron også mynt. Disse to utfallene må vi legge sammen.

[tex]\frac{1}{2} \, \cdot \,\frac{1}{2} \, + \, \frac{1}{2} \, \cdot \,\frac{1}{2} \, = \, \frac{1}{4}[/tex]
c) Legg sammen svarene i b) og kommenter svaret
Det blir en og dermed har jeg vært igjennom alle mulige utfall...
Utfallene fra b er to mynter, to kron, eller en mynt av hver. Legger vi disse sammen får vi

[tex]\frac{1}{4} \, + \, \frac{1}{4} \, + \, \frac{1}{2} \, = \, 1 [/tex]

Dersom sannsynligheten er 1 betyr det at det er alle mulige utfall. Summen av alle utfallene er alltid 1. Dette kan vi lett sjekke, er det mulig å få noen andre utfall enn to kron, to mynter, eller en av hver når du kaster en mynt to ganger ? Nei.
Oppgave 2
Kaster to terninger. Sett opp mulige utfall og finn sannsynligheten for å få:
11, 12, 13, 14, 15, 16
21, 22, 23, 24, 25, 26
31, 32, 33, 34, 35, 36
41, 42, 43, 44, 45, 46
51, 52, 53, 54, 55, 56
61, 62, 63, 64, 65, 66
På en terning er det seks sider. Det betyr at det er 6 mulige utfall. Triller vi enda en terning er det også 6 mulige utfall. Da får vi
[tex]6 \, \cdot \, 6 = 36[/tex] mulige utfall

Vi antar at det er likestor sjangse for å få hvert av tallene, da skal summen av sannsynlighetene bli 1.

[tex]36x\,=\,1[/tex] Som gir at [tex]x\,=\,\frac{1}{36}[/tex]

Pga at det er 1/6 sjangse for å få et tall førstegang og 1/6 for neste gang
a) To enere
[tex]P(1 \cap 1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}[/tex]
Litt feil, her må man gange de sammen så svaret blir
[tex]\frac{1}{6}\, \cdot \, \frac{1}{6}\, = \frac{1}{36}[/tex]
b) Sum lik 6
Hvor mange forskjellige utfall kan gi oss summen 6 ?

[tex] 1+5 [/tex] og [tex] 5+1 [/tex]
[tex] 2+4 [/tex] og [tex] 4+2 [/tex]
[tex] 3+3 [/tex]

Sannsynligheten for hvert av disse utfallene er [tex]\frac{1}{36}[/tex]
Vi legger disse sammen siden hvilken som helst av de gir oss det ønskelige resultatet.

[tex]\frac{1}{36} + \frac{1}{36}\, +\, ... \,= 5 \cdot \frac{1}{36} \,=\, \frac{5}{36}[/tex]
c) Først 2, så 3
[tex]P(2 så 3) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} [/tex]
[tex]\frac{1}{6} \, \cdot \, \frac{1}{6} \,=\, \frac{1}{36}[/tex]
d) Sum minst lik 7
Minst sum betyr summen syv eller høyere. Dette kan vi skrive som [tex]7 \, + \, 8 \, + \, ... \, + \, 11 \, + \, 12[/tex] eller med andre ord:

[tex]1 \, - \, 6 \, + \, 5 \, + \, ... \, + \, 2[/tex]

Betyr egentlig ikke så mye, men gjør ting litt lettere.

Skriver opp de forskjellige som kan gi sum 6, 5 osv.

[tex] 6 \, = \, 3+3 \, , \, 4+2 \, , \, 2+4 \, , \, 5+1 \, , \, 1+5[/tex]
[tex] 5 \, = \, 1+4 \, , \, 4+1 \, , \, 3+2 \, , \, 2+3 [/tex]
[tex] 4 \, = \, 2+2 \, , \, , 1+3 \, , \, 3+1[/tex]
[tex] 3 \, = \, 2+1 \, , \, 1+2[/tex]
[tex] 2 \, = \, 1+1[/tex]

Dette blir tilsammen [tex]15[/tex] utfall

[tex]\text{Sum minst 7}\, =\, 1 \, - \, 15(\frac{1}{36}) = \frac{7}{12}[/tex]

e) 4, 5 eller 6 i første og 1, 2, 3 eller 4 i andre

Sjangsen for 4 i førstekast er [tex]\frac{1}{6}[/tex]
Sjangsen for 5 i førstekast er [tex]\frac{1}{6}[/tex]
...

Da får vi

[tex](\, \frac{1}{6} + \frac{1}{6} +\frac{1}{6} ) \cdot ( \, \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \,) [/tex]

[tex](3\cdot\frac{1}{6})\cdot(4\cdot\frac{1}{6})[/tex]
f) minst en sekser
[tex]P(\text{minst en sekser}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}[/tex]
Minst en sekser betyr summen av følgende sannsynligheter

Sekser og ikke sekser
Ikke sekser og sekser
Sekser og sekser

Sjangsen for å få [tex]6[/tex] er [tex]\frac{1}{6}[/tex]
Sjangsen for ikke å få [tex]6[/tex] er dermed [tex]1 \, - \, \frac{1}{6} \, = \, \frac{5}{6}[/tex]

Da får vi

[tex] (\frac{1}{6}\, \cdot \, \frac{5}{6}) \, + \, (\frac{5}{6}\, \cdot \, \frac{1}{6}) \, + \, (\frac{1}{6}\, \cdot \, \frac{1}{6}) \, = \, \frac{11}{36}[/tex]

g) én toer

En toer betyr enten toer i første kastet eller andre kastet. Sannsynligheten for en toer er åpenbart \frac{1}{6}

Dermed får vi

[tex] (\frac{1}{6}\, \cdot \, \frac{5}{6}) \, + \, (\frac{5}{6}\, \cdot \, \frac{1}{6}) \, = \, \frac{5}{18}[/tex]
h) én toer dersom summen er 6
Her spør de hva er sannsynligheten for å få en toer når vi vet at summen av øynene er 6. Fra b) vet vi at mulighetene for å få 6 øyne er.

[tex] 6 \, = \, 3+3 \, , \, 4+2 \, , \, 2+4 \, , \, 5+1 \, , \, 1+5[/tex]

Her kan vi se at to av de fem utfallene gir oss èn toer.
Dermed blir sannsynligheten

[tex]\frac{\text{Onskelige utfall}}{\text{Mulige utfall}}[/tex]

[tex]\frac{\,2\,}{\,5\,}[/tex]

Det var vell det, bare spørr om det er med du lurer på. Og som sagt det ligger masse flotte videoer på youtube.

Ekstraoppgaver:

1) Vi triller en terning og kaster en mynt.
Hva er sannsynligheten for ikke å få en sekser og kron ?

2) Vi triller tre terninger, hva er sannsynligheten for at summen av øynene er lik 12 ?

3) to terninger, hva er sannsynligheten for at summen av øynene er 10 eller lavere ?

4) En terning og en mynt, hva er sannsynligheten for å få enten mynt og/eller kron ?

5) Vi triller to terninger med 7 sider, hva er sannsynligheten for at summen av øynene dellig med 2? Hva med 3?

6) Vi kaster en mynt tre ganger, hva er sannsynligheten for å få to eller mer av en myntsort ? (Enten mynt eller kron)

Posted: 20/01-2010 09:38
by meCarnival
Takk, alt sa seg selv, har litt start vansker og synes dette er faktisk litt vanskelig og catche, men når man skjønner prinsippet, så letter nok det en god det... Vil bare over kneika... Har litt mere oppgaver også som kommer etterpå, bare prøve meg på dine ekstra oppgaver først :)

1) Vi triller en terning og kaster en mynt.
Hva er sannsynligheten for ikke å få en sekser og kron ?

Vet sannsynligheten for kron er[tex] \frac{1}{2}[/tex]
Sannsynligheten for ikke sekser er [tex]1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}= \underline{\underline{\frac{5}{12}}}[/tex]

2) Vi triller tre terninger, hva er sannsynligheten for at summen av øynene er lik 12 ?

Summen på terninger må være 12 og har totalt 6^3 = 216 muligheter...

[tex]1+5+6 \,\, 2+4+6 \,\, 2+5+5 \,\, 3+3+6 \,\, 3+4+5 \,\, 4+4+4 [/tex]
[tex]1+6+5 \,\, 2+6+6 \,\, 2+5+5 \,\, 3+6+3 \,\, 3+5+4 \,\, 4+4+4 [/tex][tex]5+1+6 \,\, 4+2+6 \,\, 5+2+5 \,\, 3+3+6 \,\, 4+3+5 \,\, 4+4+4 [/tex]
[tex]5+6+1 \,\, 4+6+2 \,\, 5+5+2 \,\, 3+6+3 \,\, 4+5+3 \,\, 4+4+4 [/tex]
[tex]6+1+5 \,\, 6+2+4 \,\, 5+2+5 \,\, 6+3+3 \,\, 5+3+4 \,\, 4+4+4 [/tex]
[tex]6+5+1 \,\, 6+4+2 \,\, 5+5+2 \,\, 6+3+3 \,\, 5+4+3 \,\, 4+4+4 [/tex]

Jeg mener dette er riktig, tror alle alternativer er med da; [tex]6 \cdot 6 = 36[/tex]

Blir det da [tex]\frac{36}{216}=\frac{1}{6}[/tex]


3) To terninger, hva er sannsynligheten for at summen av øynene er 10 eller lavere?
Alternativer:
[tex]1+1 \,\, 2+1 \,\, 3+1 \,\, 4+1 \,\, 5+1 \,\, 6+1[/tex]
[tex]1+2 \,\, 2+2 \,\, 3+2 \,\, 4+2 \,\, 5+2 \,\, 6+2[/tex]
[tex]1+3 \,\, 2+3 \,\, 3+3 \,\, 4+3 \,\, 5+3 \,\, 6+3[/tex]
[tex]1+4 \,\, 2+4 \,\, 3+4 \,\, 4+4 \,\, 5+4 \,\, 6+4[/tex]
[tex]1+5 \,\, 2+5 \,\, 3+5 \,\, 4+5 \,\, 5+5 [/tex]
[tex]1+6 \,\, 2+6 \,\, 3+6 \,\, 4+6 [/tex]

Her er det totalt tre alternativer som detter bort, 11 eller høyere...
Totalt har jeg [tex]6^2 = 36[/tex] alternativer... Så jeg får da [tex]\frac{33}{36}[/tex] ?


4) En terning og en mynt, hva er sannsynligheten for å få enten mynt og/eller kron?

Terningen er det \frac{1}{6} siden oppgaven utelukker vesentligheten av terningen...
Vet sannsynligheten av kron/mynt er [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Nei denne tok jeg ikke... Hvordan kan du få mynt OG kron, når det kastes en "penge"...? Antar det er noe du har glemt her bare... :)


5) Vi triller to terninger med 7 sider, hva er sannsynligheten for at summen av øynene dellig med 2? Hva med 3?
Prøve å ressonere... Da må det inneholde to partall eller to oddetall for at det skal gå opp i to gangen...
Alternativer:

[tex]1+1 \,\, 2+2 \,\, 3+1 \,\, 4+2 \,\, 5+1 \,\, 6+2 \,\, 7+1[/tex]
[tex]1+3 \,\, 2+4 \,\, 3+3 \,\, 4+4 \,\, 5+3 \,\, 6+4 \,\, 7+3[/tex]
[tex]1+5 \,\, 2+6 \,\, 3+5 \,\, 4+6 \,\, 5+5 \,\, 6+6 \,\, 7+5[/tex]
[tex]1+7 \,\,\,\,\,\,\, 3+7 \,\,\,\,\,\,\, 5+7 \,\,\,\,\,\,\, 7+7[/tex]

Partall gir [tex]3 \cdot 3 = 9[/tex]
Oddetall gir [tex]4 \cdot 4 = 12[/tex]
[tex]9+12 = 21[/tex] alternativer

Totalt alternativer: [tex]7^2 = 49[/tex]
[tex]\frac{21}{49} = \frac{3}{7}[/tex]


6) Vi kaster en mynt tre ganger, hva er sannsynligheten for å få to eller mer av en myntsort ? (Enten mynt eller kron)

Dette er tre uavhengige hendelser og dermed multiplikasjon...?
Sannsynligheten hvergang er \frac{1}{2}, men jeg skal finne de alternativene som går på minimum to av samme sort...
KKK
KKM
KMK
MKK
MMM
MMK
MKM
KMM

8 utfall kan ende opp med det, som også er det totale utfallet, så her forventes å få en som svar...
[tex]8 \cdot \(\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2}\)[/tex]

Posted: 20/01-2010 09:44
by meCarnival
Kommet over på betinget sannsynlighet.. Går sakte, glad for hjelpen da fordi dette skal jeg kunne når mai nærmer seg, så viktig for meg forsåvidt =)... Synes det er gøy og få det til også...

Seks jegere ser en ulv og skyter på den samtidlig. Fra den avstanden har treffer hver jeger på en av tre skudd, altså hvert tredje, [tex]\frac{1}{3}[/tex].
Sannsynligheten for at reven blir truffet er?

Denne vet jeg ikke hvordan jeg skal angripe..

En lignende jeg tenkte å prøve på hvis jeg får svar på den over..:
Under visse forhold er sannsynligheten for å ødelegget et fly med rifle, 0,004.
Finn sannsynligheten for å ødelegge et fly når 250 rifler avfyres samtidlig...

Ser ikke hvorfor ting skal skje akkurat samtidlig?

I en bursdag er det 25 personer, hva er sannsynligheten for at ingen a dem har bursdag på samme dag?
- her tenkte jeg 25/365, men feil... Men har jo bare de to tallene å gå utifra..?

Samme bursdag, hva er sannsynligheten for at minst to personer fyller år samtidlig? Har ikke noen mer tallmaterialet her?

Posted: 20/01-2010 12:06
by Gustav
meCarnival wrote:
Seks jegere ser en ulv og skyter på den samtidlig. Fra den avstanden har treffer hver jeger på en av tre skudd, altså hvert tredje, [tex]\frac{1}{3}[/tex].
Sannsynligheten for at reven blir truffet er?

Sannsynligheten for at reven blir truffet er selvsagt 0. Dette er et lurespørsmål.

Sannsynligheten for at ulven blir truffet er komplementet til sannsynligheten for at samtlige jegere bommer; altså [tex]1-(\frac{2}{3})^3[/tex]

Fremgangsmåten på flyoppgaven er helt analog; finn først den komplementære sannsynligheten.

Posted: 20/01-2010 14:19
by meCarnival
Fasit tilsier 0,91 på ulveoppgaven da? :roll:

Posted: 20/01-2010 14:32
by Markonan
Er det en rev eller en ulv som blir skutt i den oppgaven? Så vidt jeg kan se er det ingen rev omtalt i oppgaveteksten, så da blir sannsynligheten 0. :D

Posted: 20/01-2010 15:28
by meCarnival
Liker morroklomper ;)...

men 1-0,004^{250} på den andre da?

Posted: 20/01-2010 15:30
by Realist1
meCarnival wrote:Liker morroklomper ;)...

men 1-0,004^{250} på den andre da?
1-0,996^250 så blir det nok rett ;)

Jeg tolker da oppgaven som å finne komplementet til at alle riflene er uskadelige (0,996 sannsynlighet per rifle). Hvis det er å finne sannsynligheten for at nøyaktig ett fly blir ødelagt blir det en annen, og mye verre story.

Posted: 22/01-2010 23:01
by meCarnival
Noen anbefalinger av sider som har videoer på norsk og forklarer ting fremover i statistikken...? Vet om NTNU sine sider, men det blir fort TV'n når jeg ser på de... Hakker og monotone stemmer blir fort gjespehumør...

Fikk foreleseren min til å se på den bursdag oppgaven og han kom frem til:

[tex]\frac{365\cdot364\cdot363\cdot362\cdot361\cdot360\cdot359\cdot358\cdot357\cdot356\cdot355\cdot354\cdot353\cdot352\cdot351\cdot350\cdot349\cdot348\cdot347\cdot346\cdot345\cdot344\cdot343\cdot342\cdot341}{365^{25}} = 0,43[/tex]

Dette hadde jeg aldri i verden klart å tenke ut selv, men noen som har lyst å forklare...? Evt andre måter den kan løses på; Betinget sannsynlighet står den under og dermed hadde ikke jeg klart siden det ikke er noen formel jeg hadde kunne tenkt meg ut fra de jeg har på formelarket...

Posted: 23/01-2010 00:36
by Realist1
Ta for deg en og en gjest.

Nr 1:
Det spiller jo ingen rolle når han har bursdag. Sannsynligheten for at bursdagen hans ikke kræsjer med en av de tidligere er 100% = 1 = 365/365. (Litt søkt, men å ha denne tankegangen konsekvent hjelper godt på, innbiller jeg meg.)

Nr 2:
Han kan ha bursdag på 364 dager for ikke å kræsje med en av de tidligere. Sannsynlighet: gunstige/mulige = 364/365.
Totalt; sjansen for at både nr 1 og nr 2 unngår å ha bursdag på samme dag:
[tex]P = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365}[/tex]

Nr 3:
Han kan ha bursdag på 363 dager for å ikke kræsje med noen av de tidligere. Sannsynligheten er igjen gunstige/mulige, og dermed 363/365.
Totalt; sjansen for at både nr 1, nr 2 og nr 3 unngår å ha bursdag på samme dag er:
[tex]P = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365}[/tex]

Ser du et mønster? Utfører vi denne operasjonen helt til nr 25, ender vi opp med uttrykket foreleseren din kom frem til. Det finnes en mer matematisk approach, som ikke er så veldig vanskelig å lære seg/pugge, men jeg håper og tror at det er lettere å virkelig forstå logikken dersom man tenker slik jeg har prøvd å forklare her.

Posted: 23/01-2010 01:09
by Dinithion
Jeg har ikke så veldig mye å konstruktivt i forhold til oppgavene å komme med, men denne så ikke så veldig pen ut.

[tex]\frac{365\cdot364\cdot363\cdot362\cdot361\cdot360\cdot359\cdot358\cdot357\cdot356\cdot355\cdot354\cdot353\cdot352\cdot351\cdot350\cdot349\cdot348\cdot347\cdot346\cdot345\cdot344\cdot343\cdot342\cdot341}{365^{25}} = 0,43[/tex]

Den er lang og uoversiktlig. Man kan jo anta at det er en følge, men jeg må alltid dobbeltsjekke og det er slitsomt :P
Jeg synes ihvertfall det er mer oversiktlig å skrive det som

[tex]\text{stygt utrykk} = \frac{365!}{365^{25} \cdot 340![/tex] :)

Posted: 23/01-2010 01:22
by Realist1
Dinithion wrote:Jeg har ikke så veldig mye å konstruktivt i forhold til oppgavene å komme med, men denne så ikke så veldig pen ut.

[tex]\frac{365\cdot364\cdot363\cdot362\cdot361\cdot360\cdot359\cdot358\cdot357\cdot356\cdot355\cdot354\cdot353\cdot352\cdot351\cdot350\cdot349\cdot348\cdot347\cdot346\cdot345\cdot344\cdot343\cdot342\cdot341}{365^{25}} = 0,43[/tex]

Den er lang og uoversiktlig. Man kan jo anta at det er en følge, men jeg må alltid dobbeltsjekke og det er slitsomt :P
Jeg synes ihvertfall det er mer oversiktlig å skrive det som

[tex]\text{stygt utrykk} = \frac{365!}{365^{25} \cdot 340![/tex] :)
Riktig, og dette er jo formelen for sånn der ordnet uordnet betinget opp ned i mente - jeg er for trøtt. Men denne formelen kan fort læres, men det at han virkelig skriver ut alle faktorene slik han gjorde i den enorme brøken, gjør det jo lettere å se hvordan ståa faktisk er. Så får man i alle fall basic forståelse for greiene.

Posted: 23/01-2010 10:16
by meCarnival
Ja, jeg er ikke så basic, så så mønsteret fort, men synes den ligner litt på sånn kombinatorikk. Eneste grunnen for at jeg ikke skrev kort, var at jeg ikke tenkte på fakultet og dele på alle de faktorene fra 340 og nedover kunne bare bli borte ved å dele på 340!... Så lært en ting i dag også... Statistikk fri i helgen, så kjører på fra mandag av med det igjen.. Skal bli god i det, så synes det er greit med litt teskje i starten, hvis ikke kan det balle på seg som forrige gang lengre ut i pensumet... Tok det ikke nok seriøst den gangen, og nå vil jeg ha en B hvertfall... Skal jobbe for det også, så kommer nok en del poster hvis jeg ikke fortstår...

Btw; Bra forklart Realist1...


Takker for alle svar hittil :D