matematikk.net

Hei!

I en oppgave står det at

leddene i en rekke er gitt ved[tex]ai = (1/i^2) - (1)/(i+2)^2) [/tex]

jeg skal vise at summen av de n første leddene er gitt ved

[tex]Sn = 1 - (1/(n+1)^2)[/tex]

det får jeg imidlertid ikke til, jeg ser sammenhengen ved å se på S1, S2 osv..men vet ikke hvordan jeg skal gå fram for å vise det ved å bruke uttrykket for ai. Hadde satt pris på litt hint, gjerne med teskjeforklaring...tusen takk på forhånd!=)

Er du sikker du har skrevet av oppgaven riktig?
Jeg fikk ikke dette til å stemme i det hele tatt.

[tex]a_i = \frac{1}{i^2} - \frac{1}{(i+2)^2}[/tex]

[tex]S_n = \sum_{i=1}^{n}a_i = 1 - \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

Beklager, skrev av feil!

Det skulle stå 1 istedenfor, slik:

[tex]a_i = \frac{1}{i^2} - \frac{1}{(i+1)^2}[/tex]


forresten, hva vil det si at i = 1 under det sigmategnet?

Aaaah, da gikk det opp et lys for meg.

Vagt hint først:
Vet du hva en teleskoperende rekke er?

I summetegnet, som du helt korrekt påpeker er en (stor) sigma, er bokstaven [tex]i[/tex] "indekstallet" til summen og n er den øvre grensen.

i=1 under sigmategnet betyr at vi starter fra i=1.

Det du har der er en teleskoprekke.

Her er rekken skrvet ut. Å gjøre dette er av og til veldig nyttig for å finne en sum.

[tex]\sum_{i=1}^n a_i=\frac11-\frac14+\frac14-\frac19+\frac19-\frac{1}{16}+...-\frac{1}{(n-2)^2}+\frac{1}{(n-2)^2}-\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{(n)^2}+\frac{1}{(n)^2}-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

Ser du noe?

tusen takk til dere begge to for at dere hjelper meg

hm..hva er ei teleskoperende rekke?

ser at leddene sletter hverandre ut og for hver del som sletter hverandre ut øker det med 1 inni parantesen inni nevneren.

siden - 1 / (n+1)^2 er det siste leddet og siden alle andre ledd sletter hverandre ut blir

Sn = 1 - (1(n+1)^2

forrsten, hvordan vet vi at det siste leddet står?

jeg greier å se mønsteret med tallene, men skjønner desverre ikke hvordan du kommer fram til uttrykkene med n. jeg tror jeg trenger å få det inn enda mere med teskje:P

Du svarer selv på hva en teleskoperende rekke er.
Det er rekker der du har ledd som går mot hverandre.

Summen S[sub]n[/sub] er summen av de n første a[sub]i[/sub] leddene:
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} + a_n[/tex]

Bytter ut hvert av leddene a[sub]i[/sub] med formelen du ga over.
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i =(1-\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \ldots - \frac{1}{(n-1)^2}) + (\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}) + (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})[/tex]

Kan fjerne parentesene, og ser at -1/4 går mot 1/4 og -1/9 mot 1/9 etc. Dette gjør at vi har en teleskoperende rekke.
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i =1\;\cancel{-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}\; \cancel{- \frac{1}{9} + \frac{1}{9}} - \ldots \;\cancel{- \frac{1}{(n-1)^2} + \frac{1}{(n-1)^2}} \;\cancel{- \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2}} - \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

Og til slutt står vi igjen med formelen du nå har vist:
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i =1 - \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

hei Markonan og espen180:) det begynner å synke mer inn nå...hjertelig takk for hjelpen!

Bare hyggelig.

Veldig fin signatur forresten. Skal huske på den!

takk din var ikke så verst den heller;)