matematikk.net

Heisann,
Står litt fast på hvordan jeg skal regne ut alle komplekse løsninger til ligningen:

z^4 = 16

Vet at de reelle løsningene blir 2 og -2. Noen ideer?:)

Polynomdivisjon kan vell være en løsning her

Eller å bruke at løsningene til stykket blir på formen

[tex](x-m)(x-n)(x-o)(x-p)[/tex]

[tex](x-2)(x+2)(ax^2-b^2+c)[/tex]

Som jeg ikke husker helt hvordan man gjode, men polynomdivisjon er alltid en slager.

[tex]\frac{z^4-16}{(z-2)(z+2)}\,=\,z^2+4[/tex]

eller...skrive den over på polarform, hvis du bemerker deg at [tex]16=16\cdot \left (cos(0)+i\sin(0) \right)[/tex]

Da har du altså at [tex]z^4=16\cdot\left (cos(0)+i\sin(0) \right)[/tex]

Bruk de Moivres teorem så er du i mål (nesten).

Når jeg ser slike ligninger, tenker jeg alltid på en sirkel. Løsningene på den ligningen deler sirkelen inn i fire like store deler. Du har én løsning, og da er det lett å finne nesten. Som du sier er 2 en løsning (som vi kan skrive [tex]2=2e^{i\cdot 0}[/tex]. For å finne neste løsning "roterer" vi [tex]\frac \pi 2[/tex] grader: [tex]2e^{i \cdot 0} \cdot e^{i\frac \pi 2}=2e^{i\frac \pi 2}[/tex]

osv

FredrikM wrote:Når jeg ser slike ligninger, tenker jeg alltid på en sirkel. Løsningene på den ligningen deler sirkelen inn i fire like store deler. Du har én løsning, og da er det lett å finne nesten. Som du sier er 2 en løsning (som vi kan skrive [tex]2=2e^{i\cdot 0}[/tex]. For å finne neste løsning "roterer" vi [tex]\frac \pi 2[/tex] grader: [tex]2e^{i \cdot 0} \cdot e^{i\frac \pi 2}=2e^{i\frac \pi 2}[/tex]

osv

Slik tenker jeg også, med min beskjedne kompleksitetskompetanse fra Matematikk X på VGS. Synes dette er en veldig fin tankegang, jeg.

Takk for svar, likte best måten som innvolverte Eulers formel:)