matematikk.net

2 skoletimer

I alle oppgavene må du vise full utregning for å få full uttelling.

Oppgave 1
Et plan [tex]\alpha[/tex] går gjennom punktet [tex]A(1, -2, 1)[/tex] og er parallelt med vektorene [tex]\left[1,2,0\right][/tex] og [tex]\left[2,-1,1\right][/tex].

a)
(1)
Vis at likningen for planet [tex]\alpha[/tex] er:
[tex]2x-y-5z+1=0[/tex]
(2)
Finn en parameterfremstilling for planet [tex]\alpha[/tex].

b)
Et annet plan [tex]\beta[/tex] har likningen:
[tex]x+3y+z+2=0[/tex]
(1)
Undersøk om punktet [tex]B(3, -1, -2)[/tex] ligger i planet [tex]\beta[/tex].
(2)
Finn vinkelen mellom [tex]\alpha[/tex] og [tex]\beta[/tex].

c)
Et plan [tex]\gamma[/tex] står normalt på både [tex]\alpha[/tex] og [tex]\beta[/tex] og går gjennom punktet [tex]A[/tex]. Finn likningen for dette planet.


Oppgave 2
a) Ei kule har sentrum i [tex]S(2, -1, 4)[/tex]. Punktet [tex]P(4,-3,5)[/tex] ligger på kuleoverflaten.
(1)
Vis at kula har radius 3.
(2)
Finn likningen til kula.

b)
Ei rett linje [tex]l[/tex] er gitt ved parameterfremstillingen
[tex]l: \; \left{ {x = 3t \\ y=-2+3t \\ z = 6-4t} \right.[/tex]
Finn skjæringspunktene mellom kula og [tex]l[/tex].

c)
Finn sentrum og radius i kula gitt ved ligningen
[tex]x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z=3[/tex]

d)
Et plan [tex]\pi[/tex] er gitt ved likningen
[tex]2x-2y+z-d=0[/tex]
Bestem [tex]d[/tex] slik at avstanden mellom punktet [tex]P(1,0,1)[/tex] og planet blir lik [tex]3[/tex].


Oppgave 3
På en flyplass plasserer vi et koordinatsystem med [tex]x[/tex]-aksen mot øst, [tex]y[/tex]-aksen mot nord og [tex]z[/tex]-aksen rett opp. Lengdene i denne oppgaven er i kilometer, og tiden [tex]t[/tex] i minutter. Et fly som kommer inn for landing har etter [tex]t[/tex] minutter posisjonen:
[tex]l: \; \left{ {x = 3+2t \\ y=-4+5t \\ z = 2-0,1t} \right.[/tex]

a) Hvor lang tid tar det før flyet lander?

b) Andrepilot Hansen spør om førstepilot Kristiansen kan finne avstanden fra punktet [tex]A(0,1,3)[/tex] til flybanen. Kristiansen er heller ustø i vektorregning. Kan du hjelpe ham?
(Hansen og Kristian er to gutter i klassen. Morsomt.)


Oppgave 4
Et telt står i en bratt bakke. Teltet har trekanten grunnflate [tex]ABC[/tex] og har tre stenger [tex]AT[/tex], [tex]BT[/tex] og [tex]CT[/tex]. Vi legger inn et koordinatsystem med origo i A. Enheten langs aksene er meter. Punktene har da koordinatene [tex]A(0,0,0)[/tex], [tex]B(5,1,0)[/tex], [tex]C(8,5,3)[/tex] og [tex]T(2,3,6)[/tex].
a)
Finn lengden av stengene [tex]AT[/tex] og [tex]BT[/tex].

b)
Finn arealet av grunnflaten i teltet.

c)
La [tex]D[/tex] være et punkt på stanga [tex]CT[/tex]. Vis at det finnes et tall [tex]t[/tex] slik at:
[tex]\vec{BD} = [3-6t, 4-2t, 3+3t][/tex]

d)
Et stag går fra punktet [tex]B[/tex] til stanga [tex]CT[/tex]. Staget står vinkelrett på stanga. Finn koordinatene til det punktet der staget er festet i stanga [tex]CT[/tex].

Lykke til!

Det ble knapt med tid for de fleste, men jeg ble akkurat ferdig. Litt utfordrende prøve, noe som jo kan være gøy. Kjekt om noen får bruk for denne prøven, og kanskje noen vil legge inn noen svar/løsningsforslag?

Husker på vår prøve i dette stoffet (årets første R2-prøve) var den siste oppgaven:

Gitt to vektorer [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex], bevis at vektoren [tex]|\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v}[/tex] havlerer vinkelen mellom [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex].



Var en stressende oppgave med rundt 7-10 min igjen på klokka.

Realist1 wrote:d)
Et plan [tex]\pi[/tex] er gitt ved likningen
[tex]2x-2y+z-d=0[/tex]
Bestem [tex]d[/tex] slik at avstanden mellom punktet [tex]P(1,0,1)[/tex] og planet blir lik [tex]3[/tex].

Kan noen se om de fikk d=12 eller d=-6 på denne?
Hadde også blitt glad om noen kunne sett på oppgave 3. Den ser jo veldig enkel ut, og den føltes slik også, men likte ikke svaret jeg fikk, selv om jeg kontrollerte flere ganger. Takker.

Jeg får fra avstandsformelen

[tex]D=\frac{|3-d|}{3}[/tex]

som gir

[tex]D=3\,\Rightarrow\, 9=|3-d|[/tex]

Som gir [tex]d=-6[/tex] eller [tex]d=12[/tex].

3)

a) [tex]z=0\,\Rightarrow\, 2-0.1t=0\,\Rightarrow\, t=20[/tex]

Alstå 20 minutter.

b) [tex]\vec{v_l}=[2,5,-0.1][/tex]

Finner punkt på linjen: [tex]P_0(3,-4,2)[/tex]

[tex]D=\frac{\vec{v_l}\cdot \vec{P_0A}}{|\vec{v}}[/tex]

Jeg får

[tex]\vec{P_0A}=[-3,5,1] \\ D=\frac{-6+25-0.1}{\sqrt{4+25+0.01}}=\frac{18.9}{\sqrt{29.01}}\approx 3.51[/tex]

altså 3.51 km.

En stund siden jeg gjorde slike beregninger sist, men det ser greit ut.

espen180 wrote:Jeg får

[tex]\vec{P_0A}=[-3,5,1] \\ D=\frac{-6+25-0.1}{\sqrt{4+25+0.01}}=\frac{18.9}{\sqrt{29.01}}\approx 3.51[/tex]

altså 3.51 km.

En stund siden jeg gjorde slike beregninger sist, men det ser greit ut.

Oj. Det var definitivt noe helt annet enn jeg fikk, ja ...

Du kan se for deg en rettvinklet trekant med [tex]\vec{P_0A}[/tex] som hypotenus, én katet parallell med linjen og én vinkelrett på den. Da vil lengden av den vinkelrette kateten være avstanden til punktet fra linja, og denne vil være [tex]|\vec{P_0A}|\cos\alpha[/tex], der [tex]\alpha[/tex] er vinkelen mellom hypotenusen og linja, altså [tex]\frac{\vec{P_0A}\cdot\vec{v_l}}{|\vec{P_0A}||\vec{v_l}|}[/tex].

Dermed blir [tex]D=\frac{\vec{P_0A}\cdot\vec{v_l}}{|\vec{v_l}|}[/tex]

Ok nå har jeg drukket ganske mye vodka i mellomtiden, men det har ikke heeel slått inn for fullt enda, så jegj benytter anledningen til å svare min svar på prøven:

Jeg tenkte at når flyet landet så er z=0. Sant. Så t=20. Der er vi jo enige.

Det gir at flyet lander i punktet [tex](3+2 \cdot 20, -4+5\cdot 20, 0) = (43, 96, 0)[/tex],. Jeg skjønner ikke hva som er feil med det?+

Og avstanden til A til det er fra (0,1,3) til (43,96,0) så [tex]\sqrt{43^2 + 95^2 + 3^2}[/tex] som jeg ikke husker hva ble akkurat i farten nå. Men hva er feil med det?

Et spørsmål: jeg kom frem til at det ikke var noe t verdi som stemte for A så flye var aldri i puktet A? SÅ A-verdien var tydeligvis helt random tatt ut? Eller tar jeg feil der? Tro jeg skjønner logikken din nå Espen, men du tar retningsvektoren til flybanen, og bruker den fra punktet A? sant? Men rullebanen er jo ikke der, hvis A ikke er der flyet er? skjønner du?

så poenget er. er A på flyets bane elelr ikke?

Det ser ut som du har funnet avstanden fra landingspunktet til A. Oppgaven ber derimot om avstanden mellom flybanen og A, altså avstanden fra A til den parameteriserte linjen.

espen180 wrote:Det ser ut som du har funnet avstanden fra landingspunktet til A. Oppgaven ber derimot om avstanden mellom flybanen og A, altså avstanden fra A til den parameteriserte linjen.

Faaaaen, jeg hukser jeg tenkte på det på prøven, jeg tenkte til og med at jeg synes det var fylbanen at flybanen var et merkelig ord å bruke. Trodde han mente rullebanen. Så jeg brukte ordet "rullebanen" i oppgaven og regnet deretter. Faaaaaen....

Laget denne illustrasjonen:

I oppgave 3 b) mener de ikke egentlig.
"Hva er korteste avstand til punkt A fra flybanen" ?

Altså om det bare er avstanden mellom punkt A og et vilkårlig punkt så kan man jo si at Realist1 har riktig

Det er den korteste avstanden det er snakk om. Om det var et vilkårlig punkt er jo oppgaven meningsløs.

Ja, åpenbart er jo utfordringen å finne den korteste avstanden. Mener selv at oppgaven er dårlig formulert. På våre prøver står det spesifisert så den ikke skal gi rom for mistolkninger.

Uansett veldig pen løsning, har litt problemer selv å visualisere disse problemene i tre dimensjoner.