matematikk.net

Jeg har skjønt at fluxintegraler bare er en form for linjeintegraler, men skjønner ikke hvordan jeg skal gå frem i beregningen. Har f.eks oppgaven:

Er gitt en kurve C som den rette linja som løper fra origo til (a,a), der a er en konstant. Er hastighetfelt er gitt ved
[tex]\vec{v} = U(x^2 - y^2)\hat{i} - 2Uxy\hat{j}[/tex]

Der U er en konstant. Skal så beregne fluxintegralet

[tex]\int_C \vec{v}\cdot \vec{n} ds[/tex]

der n har positiv y-komponent.

Hvordan angriper man slike integraler?

Hva er [tex]\vec{n}[/tex]? En enhetsvektor langs linja (0,0)->(a,a)?

Du kan vel lage en differensialvektor [tex]d\vec{s}=[dt,dt][/tex], erstatte x og y med t i [tex]\vec{v}[/tex] og integrere

[tex]\int_0^a \vec{v}\cdot d\vec{s}[/tex]

Burde vel funke..

Jeg tror jeg skjønner hvordan jeg skal gjennomføre integralet nå. Ved å se på MIT sine video forelesninger fant jeg at man kunne se på flux integralet nesten helt likt som linjeintegralet bare med en liten tvist.. for linjeintegraler har vi at

[tex]\int_C \vec{F} d\vec{r} = \int_a^b F(\vec{r}(t))\cdot r^\prime (t) dt[/tex]

der r er den parametriserte kurven. Men ved å bruke det at enhentstangentvektoren er gitt ved

[tex]\hat{T} = \frac{\vec{r}^\prime (t)}{|r^\prime(t)|}[/tex] kan vi omskrive dette til

[tex]\int_C \vec{F} \cdot \hat{T}|r^\prime(t)|dt = \int_C \vec{F} \cdot \hat{T} ds[/tex]

Sammenlikner vi dette med fluxintegralet
[tex]\int_C \vec{v}\cdot\hat{n}ds[/tex]

ser vi at fluxintegralet er det samme som linjeintegralet bortsett fra at vi bruker enhetsnormalvektoren istedenfor enhetstangentvektoren. Denne får vi ved å rotere enhetstangentvektoren 90 grader. Vi kan dermed regne ut fluxintegralet på samme måte som linjeintegralet bortsett fra at vi foretar en rotasjon av [tex]\hat{T}ds[/tex] som tilsvarer [tex]r^\prime (t) dt[/tex]. Dette kan vi gjøre ved å regne ut [tex]r^\prime (t) \times \hat{k}[/tex].

Hvis jeg nå regner ut integralet over og parametriserer kurven ved

[tex]\vec{r}(t) = at\hat{i} + at\hat{j} \Rightarrow \vec{r}^\prime(t) = a\hat{i} + a\hat{j}[/tex]

[tex]\vec{v}[/tex] som funksjon av [tex]\vec{r}(t)[/tex] blir da

[tex]\vec{v}(\vec{r}(t)) = U(a^2t^2 - a^2t^2)\hat{i} - 2U(a^2t^2)\hat{j} = -2U(a^2t^2)\hat{j}[/tex]

da blir integralet

[tex]\int_0^1 (-2Ua^2t^2\hat{j})\cdot(a\hat{j}-a\hat{i})dt = \int_0^1 -2Ua^3dt = -\frac{2}{3}Ua^3[/tex].

Som jeg har regnet ut akkurat likt som linjeintegralet bortsett fra at jeg har rotert [tex]\vec{r}^\prime(t)[/tex] 90 grader mot klokken for å få enhetsnormalvektoren isteden. Jeg har ikke fasit på denne oppgaven så hvis noen kan bekrefte eller avkrefte om dette er riktig blir jeg svert glad. Lurer også på om ressoneringen med enhetstangentvektoren holder og vil om noe n har noen andre lure måter å se dette på.

Det er ihvertfall samme svar som du ville fått med mitt uttrykk over...

Hvordan ville du ha gjort det i praksis og hva er tanken bak?

Tanken bak er som følger:

Jeg har en parameterisert kurve [tex]\vec{\gamma}(t)\,,\,t\in I[/tex] som jeg uttrykker ved [tex]\vec{\gamma}(t)=\int_0^t d\vec{s}[/tex]. I praksis vil [tex]\rm{d}\vec{s}=\rm{d}\vec{\gamma}(t)[/tex].

Når du regner ut linjeintegralet av [tex]\vec{V}(x,y)[/tex] på [tex]\vec{\gamma}(t)[/tex] på intervallet [tex][a,b][/tex] gjør du det ved å først gjøre en variabelsubstitusjon [tex]\vec{V}(x,y)\rightarrow\vec{V}(t)[/tex] og så regne ut [tex]S=\int_a^b \vec{V}(t)\cdot \rm{d}\vec{s}[/tex].