matematikk.net

Kan slettes.

Skriv opp definisjonen av autokorrelasjon først:


[tex]R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(t+\tau)\,dt[/tex]


Du må drøfte hva dette integralet blir for ulike verdier av [tex]\tau[/tex].

Takk for svar! Ok, jeg forvillet meg opp i en piecewise funksjon og prøvde å lage et analytisk svar ut fra det, men uten suksess.

Om det holder å drøfte de ulike verdiene så er jeg i mål alt!

For de som måtte lure: Du ender opp med en overgang fra firkant puls signal, til et trekant puls signal, også kalt rampe signal.

Mvh
HiT Elev.

Jeg kan skissere hvordan jeg tenkte:

Ideen er å se på en firkantet bølgepuls.

Eksempel:

Si at [tex]f(t)=1[/tex] på intervall [tex][0,1][/tex] og [tex]f(t)=0[/tex] på intervallet [-1,0].

Ser på integralet

[tex]\int_{-1}^{1} f(t)f(t+\tau)\,dt[/tex].

Integranden er hele tiden [tex]1[/tex], men det er i grensene [tex]\tau[/tex] kommer inn. Hvis [tex]\tau [/tex] er i intervallet [0,1] er [tex]f(t+\tau)[/tex] forskjøvet mot venstre med en lengde[tex] \tau[/tex], slik at grensene i integralet går fra 0 til [tex]1-\tau[/tex], derfor blir autokorrelasjonen

[tex]R(\tau)=\int_0^{1-\tau}\, dt=[t]_{0}^{1-\tau}=1-\tau[/tex]

Dersom [tex]\tau[/tex] er i intervallet [-1,0] blir likeledes autokorrelasjonen:

[tex]R(\tau)=\int_{-\tau}^1 \, dt=1+\tau[/tex]

Plotter vi dette, vil autokorrelasjonsfunksjonen ha en slik form når vi utvider til en periodisk funksjon: (merk at aksene på figuren ikke er riktige i forhold til eksempelet)




Et analytisk svar på oppgaven vil derfor være

[tex]R(t)=\left { \begin{array}{ll} 1+t& ,\,t \in [-1,0] \\ 1-t & ,\, t\in [0,1] \end{array}[/tex] , der [tex]R(t+2)=R(t) \forall t\in \mathbb{R}[/tex]