Page 1 of 3
Iterated exponentiation, tetration
Posted: 19/02-2010 14:49
by wingeer
Hallo!
Trenger litt hjelp med en oppgave jeg har fått på en øving. Den lyder så her:
[tex]x^x^x^{...}=a[/tex] a>0. Likningen skal løses. Jeg vet liksom ikke helt hvor jeg skal starte. Om noen kunne gitt et lite hint ville det vært flott.
Posted: 19/02-2010 17:22
by Charlatan
Hvis vi denoterer [tex]x^x^x^{..._n \ _^x} =x^{[n]}[/tex], altså x eksponert med seg selv n ganger, er den rimeligste tolkningen av oppgaven at vi skal finne x slik at [tex]\lim_{n \to \infty} x^{[n]} = a[/tex].
Se nå på grensene [tex]\lim_{n \to \infty} \log(x^{[n]})[/tex], og [tex]\log(\lim_{n \to \infty} x^{[n]})[/tex].
Ved å deretter bruke at [tex]\lim_{n \to \infty} x^{[n]} = a[/tex], hva kan du si om x?
Posted: 20/02-2010 17:21
by wingeer
Mulig dette ble litt vanskelig å se for seg for min del. Jeg stopper ihvertfall opp ved grensene.
Vil ikke logaritmen til et tall, forskjellig fra 1, opphøyd i seg selv n ganger, der n går mot uendelig, sakte men sikkert gå mot uendelig?
Posted: 21/02-2010 03:15
by Charlatan
wingeer wrote:Mulig dette ble litt vanskelig å se for seg for min del. Jeg stopper ihvertfall opp ved grensene.
Vil ikke logaritmen til et tall, forskjellig fra 1, opphøyd i seg selv n ganger, der n går mot uendelig, sakte men sikkert gå mot uendelig?
Ikke nødvendigvis, og det er det oppgaven antar i utgangspunktet. Man kan vise at f.eks [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{...}}[/tex] har en endelig grense. Uansett, hvis du antar at grensen går mot [tex]a[/tex], prøv å se hva du kan si om x.
Posted: 21/02-2010 14:09
by wingeer
Vel, det første som slår meg inn er at det må være et intervall hvor x konvergerer. Jeg tenker intuitivt [tex]0<x<\sqrt{2}[/tex], uten at jeg nødvendigvis skjønner helt hvorfor.
Posted: 21/02-2010 15:54
by Charlatan
Intervallet finnes, men det er ikke hva oppgaven spør etter.
Posted: 21/02-2010 16:42
by wingeer
Spør ikke oppgaven om hvilke x-verdier som gjør at dette "tårnet" konvergerer mot et tall?
Posted: 21/02-2010 17:04
by Gustav
wingeer wrote:Spør ikke oppgaven om hvilke x-verdier som gjør at dette "tårnet" konvergerer mot et tall?
Jeg tolker oppgaven slik: Gitt at x^x^x... konvergerer mot a, finn et uttrykk for x.
Posted: 21/02-2010 17:43
by wingeer
Ja, jeg skjønner. Så det er altså ikke et bestemt tall/intervall jeg er ute etter.
Ved å sette [tex]y=\lim_{n \to \infty}x^{[n]}=a \to lny=ln(\lim_{n \to \infty}x^{[n]})=lna[/tex]. Der stopper jeg opp.
Angående den andre grenseverdien, [tex]\lim_{n \to \infty}(lnx^{[n]})[/tex]. Ved å bruke regler for logaritmer får jeg [tex]\lim_{n \to \infty}[n](lnx) \to lnx\lim_{n \to \infty} [n][/tex].
Men er ikke [tex]\lim_{n \to \infty} [n]=a[/tex]?
Posted: 21/02-2010 17:54
by Charlatan
wingeer wrote:Ja, jeg skjønner. Så det er altså ikke et bestemt tall/intervall jeg er ute etter.
Ved å sette [tex]y=\lim_{n \to \infty}x^{[n]}=a \to lny=ln(\lim_{n \to \infty}x^{[n]})=lna[/tex]. Der stopper jeg opp.
Angående den andre grenseverdien, [tex]\lim_{n \to \infty}(lnx^{[n]})[/tex]. Ved å bruke regler for logaritmer får jeg [tex]\lim_{n \to \infty}[n](lnx) \to lnx\lim_{n \to \infty} [n][/tex].
Men er ikke [tex]\lim_{n \to \infty} [n]=a[/tex]?
Jeg antar du mener [tex]x^{[n]}[/tex], og ikke [tex][n][/tex]. Det stemmer forsåvidt, bare at du må huske på at tårnet ikke er like høyt etter du tok logaritmen, dvs [tex]\log x^{[n]} = x^{[n-1]} \log x[/tex]. Du er like rundt hjørnet i hvert fall.
Posted: 21/02-2010 18:16
by wingeer
Det er klart det er det jeg mener. Jeg var også litt usikker på det med n-1.
Jeg lurer bare litt på hvor du utledet den grenseverdien fra?
Posted: 21/02-2010 18:18
by Charlatan
wingeer wrote:
Jeg lurer bare litt på hvor du utledet den grenseverdien fra?
Er ikke helt med her, hvilken grenseverdi er det du mener?
Posted: 21/02-2010 18:31
by wingeer
Denne: [tex]\lim_{n \to \infty}(lnx^{[n]})[/tex].
Posted: 21/02-2010 19:53
by Charlatan
wingeer wrote:Denne: [tex]\lim_{n \to \infty}(lnx^{[n]})[/tex].
Jeg forstår ikke hva du mener med at jeg har utledet den. Jeg foreslår bare at du finner den og den tilsvarende grenseverdien for å finne verdien til x.
Posted: 21/02-2010 20:09
by wingeer
Vel. Et sted må den vel komme fra? Hehe.
Jeg ser hvordan en kan komme frem til [tex]ln(\lim_{n \to \infty} x^{[n]})[/tex] utifra at [tex]\lim_{n \to \infty} x^{[n]} = a[/tex]. Jeg ser derimot ikke hvordan en kommer frem det andre uttrykket, eller hva det skal være lik.
Så langt har jeg at [tex]lnx(\lim_{n \to \infty} x^{[n-1]})[/tex], men ikke hva det er lik.
Jeg har også at [tex]ln(\lim_{n \to \infty} x^{[n]})=lna[/tex].
Jeg fikk inntrykk av at jeg var på rett vei?