matematikk.net

Hallo.
Trenger litt hjelp med et induksjonsbevis. Jeg ønsker å bevise at [tex]a^n \cdot a^m = a^{n+m}[/tex].
Jeg støter på noen problemer. 1. Det er to variable. Er det valid om jeg først beviser at det gjelder for n+1 og m, for så å vise at det gjelder for n og m+1?
2. Om jeg beviser setningen med induksjonsbevis, har jeg da bare bevist at det gjelder når n og m er heltall? Hvordan kan jeg da evt. vise at det gjelder for reelle tall?

[tex]a^{n+m}=a^na^m[/tex]

1. Vis at formelen gjelder for n=m=0.

2. Pga. symmetri (vi kan bytte om n og m uten at det forandrer noe) trenger du bare å vise at det følger at [tex]a^{n+(m+1)}=a^{n}a^{m+1}[/tex]

Da har du vist at formelen gjelder for alle ikkenegative heltall n og m.

Såvidt meg bekjent fungerer ikke vanlig induksjon for reelle tall siden de ikke engang er en tellbar mengde.

Takk for svar.

Hvordan ville du da gått frem for å bevise at setningen gjelder for R?

wingeer wrote:Takk for svar.

Hvordan ville du da gått frem for å bevise at setningen gjelder for R?

Jeg ville kanskje begynt med å vise at formelen gjelder for rasjonale tall n og m i Q, for så å bruke at Q er tett i R. (Det betyr at det for reelle tall fins rasjonale følger som konvergerer mot dem.) Hvis du deretter bruker kontinuiteten til [tex] f(x)=a^x[/tex], tror jeg det skal føre frem.

Kanskje andre har bedre forslag, men..

Dersom man skal ta utgangspunkt i at [tex]a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n}[/tex] er det ingen måte å vise at [tex]a^{x+y}=a^xa^y[/tex] for alle rasjonale eller reelle tall [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex]. Man må først definere hva man snakker om hvis man skriver [tex]a^{\frac{2}{3}}[/tex], eller [tex]a^{\sqrt{2}}[/tex]. Å utvide definisjonsområdet for rasjonale tall kan gjøres på følgende måte:

Hvis [tex]a[/tex] er et positivt reellt tall, og [tex]p[/tex] og [tex]q[/tex] er heltall, så er [tex]a^{\frac{p}{q}}[/tex] det unike positive reelle tallet [tex]b[/tex] slik at [tex]b^{q}=a^{p}[/tex].
Man kan vise at [tex]b[/tex] eksisterer og er unik ved å betrakte likningen løsningsmengden på likningen [tex]x^{q}-a^p=0[/tex].

Å utvide dette videre til reelle eksponenter kan gjøres på følgende måte:
La [tex]b_n[/tex] være en positiv økende rasjonal konvergent følge slik at [tex]b_n \to x[/tex], og la [tex]c[/tex] være et rasjonalt tall større enn [tex]x[/tex].
Da er [tex]a^{b_n}[/tex] en positiv økende følge, og har en øvre grense [tex]a^c[/tex]. Følgen [tex]a^{b_n}[/tex] konvergerer altså mot et tall vi kaller [tex]a^x[/tex].

Fra denne definisjonen av [tex]a^x[/tex] kan vi blant annet vise at [tex]a^{x+y}=a^xa^y[/tex] for rasjonale og irrasjonale tall, og at funksjonen [tex]f(x) = a^x[/tex] er kontinuerlig. (Tips til sistnevnte: [tex](1+r)^q<1+rq[/tex] for alle rasjonale [tex]q>0[/tex], og reelle [tex]r \geq -1[/tex] (du kan ikke bruke dette for irrasjonale q for det følger blant annet av det du skal vise!)

Merk at dette var var et tilfeldig (om enn et naturlig) valg av definisjon for [tex]a^x[/tex] for henholdsvis rasjonale og reelle tall [tex]x[/tex].

Jeg spurte, og jeg fikk svar. Likevel føler jeg at dette ligger et lite hakk over mine evner og ferdigheter per dags dato (hvertfall per døgns tid).
I oppgaven skulle jeg nemlig bevise 9 setninger. To av de var:
[tex]log_a xy = log_a x + log_a y[/tex], og overnevnte.
Jeg brukte overnevnte til å vise logaritme-setningen, og jeg måtte da bevise [tex]a^x \cdot a^y = a^{xy}[/tex]. Når jeg tenker meg om, er det vel kanskje enklere å gjøre det motsatte. For så å bevise logaritmesetningen med integralformen av logaritmen.