matematikk.net

Jeg sliter litt med induksjonsbevis..

Skal bruke induksjon til å bevise at;
1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1) = n/(n+1)

Får det ikke til å stemme at formelen er rett for n = k+1, tror jeg har satt inn feil tall når man skal anta. Kan noen utføre oppgaven?

Tror det er en gammel eksamensoppgave eller noe slikt. Det er i allefall repistisjon, læreren ga ut masse oppgaver som vi skal trene oss til heldagsprøven med...

n = 1.
Venstresiden
[tex]\frac{1}{1\cdot2} = \frac{1}{2}[/tex]

Høyresiden
[tex]\frac{n}{n+1} = \frac{1}{2}[/tex]

Ser bra ut. Antar det stemmer for k, og viser at dette medfører at det stemmer for k+1.

Det er ingen fast fremgangsmåte for å gå videre her bortsett fra en ting: du skal alltid bruke induksjonshypotesen! Her er induksjonshypotesen:
[tex]\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}[/tex]

Ved å bruke den vil vi vise:
[tex]\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}[/tex]

Bruker induksjonshypotesen og kan da skrive dette som:
[tex]\frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}[/tex]

Nå gjenstår det bare å vise at venstresiden er lik høyresiden.