matematikk.net

Hei

Leser for tida i Fraleigh's "A first course in abstract algebra". I kapittel 37 er det eit eksempel der ein viser at det ikkje finst nokon simple grupper av orden 36. Men det er ein ting i "beviset" eg ikkje forstår:

Vha. Sylow teorema finn vi at antall undergrupper av orden 9 er enten 1 eller 4. Dersom det er 1, er denne normal. Dersom vi har 4, la H og K vere to slike. Då vil [tex]|H\cap{K}|=3[/tex], ettersom [tex]|H\cap{K}|=1[/tex] ville implisert at [tex]|HK|=|H||K|/|H\cap{K}|=(9*9)/1=81>36[/tex] (og H og K er ulike, så snittet kan ikkje ha 9 element). Dette er ok.

Men så blir det sagt at då må [tex]N[H\cap{K}][/tex] må ha orden eit multippel >1 av 9 (som sjølvsagt også er ein divisor av 36). Men kvifor er dette tilfellet? Kvifor kan den ikkje ha orden 3 eller 9? Kan det vere at [tex]H\cap{K}[/tex] er normal i H og K? Men i så fall: korleis vise dette?

Resten av beviset er også ok.

Svaret er sikkert heilt "obvious", men...

Godt spørsmål, jeg skjønner heller ikke helt argumentet for hvorfor normalisatoren til snittet av to sylow 3-undergrupper må ha orden et multippel >1 av 9. De fleste andre bevisene jeg har sett for dette bruker et litt annet argument med en homomorfi fra [tex]G[/tex] til [tex]S_4 [/tex] og viser at kernelen til denne er ikketriviell, så derfor er den en ikke-triviell normal undergruppe til G. (eller noe slikt)

Jeg antar at normalisatoren minst må ha orden 9, for det er vel slik at for enhver 3-undergruppe av orden 3 fins det en 3-undergruppe av orden 9 slik at den første er normal i den andre.

Men jeg skjønner ikke helt hvorfor ikke normalisatoren kan ha orden 9 eller 12.

Ok, bra det ikkje berre er eg som ikkje forstod det heilt..

Det følger ganske direkte fra det at [tex](N[H \cap K] : H \cap K) \equiv (G : H \cap K) \equiv 0 (\text{mod}3)[/tex].

Ok, dette forklarer at normalisatoren ikke kan ha orden 12, men det forklarer vel ikke hvorfor ikke normalilsatoren kan ha orden 9 ...?

Siden H og K er abelske, kan vi se at de er begge inneholdt i [tex]N[H \cap K][/tex], og siden H og K er ulike, må [tex]N[H \cap K][/tex] ha større orden enn 9. Det følger dessuten kun fra dette at [tex]N[H \cap K][/tex] har orden et multippel av 9. Litt rart at eksempelet hoppet til den konklusjonen uten videre, men man skal vel kanskje fylle detaljer ut selv.

Hm, at H og K er abelske er vel ikke nødvendigvis gitt

Siden de har orden 9, som er kvadratet av et primtall, så er de abelske. Burde ha nevnt over.

ah, utrolig hva man glemmer når man tenker for vanskelig

Ok, forstod det nå. Tusen takk!