matematikk.net

Hallo,

trenger litt hjelp med denne oppgaven:

"En by er delt inn i tre valgdistrikter, A, B og C. Distrikt A har 20% av de registrerte velgerne, B har 40% og C har 40%. I A var det 50% som stemte AP, B var det 25% og C var det 75%.

b) Vi møter en tilfeldig på gaten i byen. Hva er sannsynligheten for at han stemte AP dersom han kom fra B eller C."

Tenkte slik:

[tex](0.4\cdot0.25)+(0.4\cdot0.75)=0.4[/tex]
Fasit sier 0.5.

Det du svarer på er sannsynligheten for at en person fra B eller C stemte på AP. Og det er 40%, så det er helt riktig.

Men i oppgaven så skal du finne sannsynligheten hvis personen er fra B eller C. Man teller liksom ikke med de fra A lengere, og B og C blir hele befolkningen. Da er jo 0.5 fra B og 0.5 fra C og du får 0.5 som endelig svar.

Prøvde å uttrykke dette som betingede sannsynligheter, men jeg er nok litt ute av trening i sannsynlighet!

Aah.. Takk skal du ha

Ok, nå tror jeg at jeg har hele utregningen.

[tex]P(A) = 0.4[/tex] : Sanns. for at en velger er fra A
[tex]P(B) = 0.4[/tex] : Sanns. fra B

[tex]P(AP|B) = 0.25[/tex] : Sanns. for å stemme AP gitt personen er fra B
[tex]P(AP|C) = 0.75[/tex] : Samme sanns. for C.

Fra definisjonen av betinget sannsynlighet:
[tex]P(AP|B) = \frac{P(AP\cap B)}{P(B)} = \frac{P(AP\cap B)}{0.4} = 0.25\;\Longrightarrow P(AP\cap B) = 0.1[/tex]

[tex]P(AP|C) = \frac{P(AP\cap C)}{P(C)} = \frac{P(AP\cap B)}{0.4} = 0.75\;\Longrightarrow P(AP\cap B) = 0.3[/tex]

Det vi skal regne ut her er: [tex]P(AP|B\cup C)[/tex]. Fra definisjonen:

[tex]P(AP|B\cup C) = \frac{P(AP\cap(B\cup C))}{P(B\cup C)}[/tex]

Fra mengdelære kan man bruke at snitt er distributiv over union:
[tex]AP\cap(B\cup C) = (AP\cap B)\cup(AP\cap C)[/tex]
og, siden B og C er disjunkte
[tex]P((AP\cap B)\cup(AP\cap C)) = P(AP\cap B) + P(AP\cap C)[/tex]. Da har vi at

[tex]P(AP|B\cup C) = \frac{P(AP\cap(B\cup C))}{P(B\cup C)} = \frac{P(AP\cap B) + P(AP\cap C)}{P(B) + P(C)} = \frac{0.1 + 0.3}{0.4 + 0.4} = \frac{0.4}{0.8} = 0.5[/tex]

Ganske sikker på at dette er riktig... men vet ikke om alt her er pensum i vgs!

Kanskje dette er den barnevennlige metoden...

[tex]P\left( {AP|B \cup C} \right) = \frac{{P\left( {AP \cap \left( {B \cup C} \right)} \right)}}{{P\left( {B \cup C} \right)}} = 1 - P\left( {AP|A} \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/tex]

Unyttig fakta...

[tex]P\left( A \right) = 20\% = 0.2 = \frac{1}{5}[/tex]

[tex] P\left( B \right) = 40\% = 0.4 = \frac{2}{5} [/tex]

[tex] P\left( C \right) = 40\% = 0.4 = \frac{2}{5} [/tex]

[tex] P\left( {AP|A} \right) = 50\% = 0.5 = \frac{1}{2} [/tex]

[tex] P\left( {AP|B} \right) = 25\% = 0.25 = \frac{1}{4} [/tex]

[tex] P\left( {AP|C} \right) = 25\% = 0.25 = \frac{1}{4} [/tex]

Ja, det er nok en mye bedre måte å gjøre det på.
Og jeg vil ikke kalle det barnevennlige, men bare den smarte måten.
Ikke vits i å gjøre mer jobb enn man trenger!