Derivasjon og Grenser
Posted: 23/03-2010 18:35
[tex]f(x)=\left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{x}{2}} [/tex]
[tex]\lim_{x\to\infty}\,f(x)[/tex]
Hvordan løser jeg denne oppgaven ? Skrev den om og fant ut at den var på [tex] \, \frac00 \, [/tex] form og dermed kunne jeg derivere funksjonen, men det hjalp ikke så mye.
[tex]f\left( x \right) = \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow \left( {\left( {\frac{{x + 9}}{x}} \right)^x } \right)^{1/2} [/tex]
[tex] \ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{x}{2}} = \frac{x}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)[/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \frac{{du}}{{dx}}v + u\frac{{dv}}{{dx}} [/tex]
[tex] u = \frac{x}{2}{\rm{ og }}\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{2} [/tex]
[tex] v = \ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right){\rm{ og }}\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{{ - \frac{9}{{x^2 }}}}{{1 + \frac{9}{x}}} = \left( { - \frac{9}{{x^2 }}} \right):\left( {\frac{{x + 9}}{x}} \right) = \left( { - \frac{9}{{x^2 }}} \right)\left( {\frac{x}{{x + 9}}} \right) = - \frac{9}{{x\left( {x + 9} \right)}} [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{x}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right) + \left( {\frac{x}{2}} \right)\left( { - \frac{9}{{x\left( {x + 9} \right)}}} \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right) - \frac{9}{{2\left( {x + 9} \right)}} [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{1}{2}} + e^{ - \frac{9}{{2\left( {x + 9} \right)}}}[/tex]
Er dette riktig ? Og hva gjør jeg herfra...
[tex]\lim_{x\to\infty}\,f(x)[/tex]
Hvordan løser jeg denne oppgaven ? Skrev den om og fant ut at den var på [tex] \, \frac00 \, [/tex] form og dermed kunne jeg derivere funksjonen, men det hjalp ikke så mye.
[tex]f\left( x \right) = \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow \left( {\left( {\frac{{x + 9}}{x}} \right)^x } \right)^{1/2} [/tex]
[tex] \ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{x}{2}} = \frac{x}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)[/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \frac{{du}}{{dx}}v + u\frac{{dv}}{{dx}} [/tex]
[tex] u = \frac{x}{2}{\rm{ og }}\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{2} [/tex]
[tex] v = \ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right){\rm{ og }}\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{{ - \frac{9}{{x^2 }}}}{{1 + \frac{9}{x}}} = \left( { - \frac{9}{{x^2 }}} \right):\left( {\frac{{x + 9}}{x}} \right) = \left( { - \frac{9}{{x^2 }}} \right)\left( {\frac{x}{{x + 9}}} \right) = - \frac{9}{{x\left( {x + 9} \right)}} [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{x}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right) + \left( {\frac{x}{2}} \right)\left( { - \frac{9}{{x\left( {x + 9} \right)}}} \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right) - \frac{9}{{2\left( {x + 9} \right)}} [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{1}{2}} + e^{ - \frac{9}{{2\left( {x + 9} \right)}}}[/tex]
Er dette riktig ? Og hva gjør jeg herfra...