matematikk.net

Skal sette opp et passende dobbeltintegral for å beregne området som oppfyller ulikhetene [tex]x, y \geq 0 \ \ x \leq y \leq 2- x^2 [/tex]. Kaller området D.

Dette ser ut som en området som det er går å bruke polarkoordinater på så jeg beregner skjæringen mellom linjen y = x og kurven y = 2-x^2 til

[tex]r \cos \theta = 2 - r^2 \cos^2 \theta \Leftrightarrow r^2 \cos^2 \theta + r \cos \theta -2 = 0[/tex]

Setter [tex]u = r \cos \theta[/tex] og løser andregradslikningen hvor jeg da får [tex] u = 1[/tex] som eneste positive løsing. Både r og cosinus er jo positiv i dette området. Dette gir at [tex]rcos \theta = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\cos\theta}[/tex]. Og området for [tex]\theta[/tex] er det greit å se at er fra [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] til [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]. Dobbelintegralet blir da..

[tex]Areal= \iint _D dxdy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} r dr d\theta = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \left[\frac{1}{2} \tan \theta\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}[/tex]

Men dette er jo et uegentlig integral siden tan ikke er definert i [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]. Jeg ser at jeg kanskje kunne ha gjort dette enklere uten å bytte til polarkoordinater, men det burde da la seg beregne her også?

Prøv å tegne området du skal integrere over. Da ser du at kanskje så passer
[tex]\int_0^2 \int_x^{2-x^2} dy dx[/tex].

Ser du hvorfor? (området du skal integrere over er ikke sirkulært (eller ellipseformet), men parabolsk (rett norsk?))

Ja, jeg ser den, men burde det ikke la seg gjøre å integrere over det samme området i polarkooridinater fordet? Jeg fant jo en begrensning på r ved å sette opp likningen for skjæringen mellom de to områdene.

Det blir langt mer jobb å bruke polare koordinater i dette tilfellet. Hele vitsen med koordinatskifte er å forenkle integralene, så jeg ser absolutt ingen vits i å bruke polare her, selv om det går an.

Jeg er enig plutarco, men det var heller ikke vitsen med innlegget. Vitsen med inlegget var at jeg her får noe som blir uendelig og, gitt at variabelskiftet og grensene mine er ok, hvorfor får jeg det når arealet defiinitivt er endelig. Jeg vil bare bekrefte at det går ann å gjøre det på begge måter.

Feilen ligger i overgangen til polarkoord. Ligningen du må løse for r er :

[tex]r\sin(\theta)=2-r^2 \cos^2\theta[/tex]

www.wolframalpha.com/input/?i=y^2+%28co ... 28x%29%3D2