matematikk.net

Jeg sitter her og repeterer litt til eksamen, og sitter nå og jobber med eksakte differensiallikninger.

Teoremet sier jo at om man har en funksjon, [tex]\psi (x,y)[/tex], så finnes det en eksakt løsning på

[tex]\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0[/tex]

hvis og bare hvis

[tex]\frac{\partial ^2 \psi (x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial ^2 \psi (x,y)}{\partial x \partial y} [/tex]

Selve oppgaveløsningen er i og for seg triviell, men jeg kom til en oppgave:

[tex](ye^{xy} cos (2x) - 2e^{xy} sin (2x))dx + (xe^{xy} cos (2x) -3)dy = 0[/tex]

Og jeg tenkte umiddelbart at her kan forenklinger gjøres, og ville skrive om til:

[tex](y cos (2x) - 2 sin (2x))dx + (x cos (2x) -3e^{-xy})dy = 0[/tex]

Men da viser det seg at man mister den eksakte løsningen. Hvorfor er det slik? e^(xy) er jo større enn null for alle x og y. Det virket litt snodig for meg..

D'oh!

Ser ut til at jeg har skrevet oppgaven av feil fra boka

Edit:

Men det endret ingen ting. Oppgaven skulle egentlig være:

[tex](ye^{xy} cos (2x) - 2e^{xy} sin (2x) +2x)dx + (xe^{xy} cos (2x) -3)dy = 0 \,\,\,\, (1)[/tex]

Da blir forenklingen:

[tex](y cos (2x) - 2 sin (2x) +2xe^{-xy})dx + (x cos (2x) -3e^{-xy})dy = 0 \,\,\,\,(2)[/tex]

Og igjen kan man se at den eksakte løsningen forsvinner..

Edit 2:

Kan jo alltids presentere utregningene:

Likning (1):

[tex]\frac{\partial \psi}{\partial x} = ye^{xy} cos (2x) - 2e^{xy} sin (2x) +2x \\ \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y \partial x} = e^{xy} cos (2x) + yxe^{xy} cos (2x) - 2xe^{xy} sin (2x) \\ \\ \frac{\partial \psi}{\partial y} = xe^{xy} cos (2x) -3 \\ \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x \partial y} = e^{xy} cos (2x) + xye^{xy} cos (2x) - 2xe^{xy} sin (2x)[/tex]

Altså finnes eksakt løsning for (1).

Likning (2):

[tex]\frac{\partial \psi}{\partial x} = y cos (2x) - 2 sin (2x) +2xe^{-xy} \\ \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y \partial x} = cos (2x) - 2x^2 e^{-xy} \\ \\ \frac{\partial \psi}{\partial y} = x cos (2x) -3e^{-xy} \\ \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x \partial y} = cos (2x) - 2x sin (2x) + 3ye^{-xy}[/tex]

Altså finnes ingen eksakt løsning for (2).

Jeg tror jeg konkluderer med at det forenklede utrykket kan løses med integrerende faktor og at den integrerende faktoren i dette tilfellet ville blitt e^(-xy). Det er visstnok ikke trivielt å finne denne faktoren når den er en funksjon av flere variable. Jeg prøvde litt, men kom ingen vei.