Eksakt differensiallikning
Posted: 29/04-2010 15:51
Jeg sitter her og repeterer litt til eksamen, og sitter nå og jobber med eksakte differensiallikninger.
Teoremet sier jo at om man har en funksjon, [tex]\psi (x,y)[/tex], så finnes det en eksakt løsning på
[tex]\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0[/tex]
hvis og bare hvis
[tex]\frac{\partial ^2 \psi (x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial ^2 \psi (x,y)}{\partial x \partial y} [/tex]
Selve oppgaveløsningen er i og for seg triviell, men jeg kom til en oppgave:
[tex](ye^{xy} cos (2x) - 2e^{xy} sin (2x))dx + (xe^{xy} cos (2x) -3)dy = 0[/tex]
Og jeg tenkte umiddelbart at her kan forenklinger gjøres, og ville skrive om til:
[tex](y cos (2x) - 2 sin (2x))dx + (x cos (2x) -3e^{-xy})dy = 0[/tex]
Men da viser det seg at man mister den eksakte løsningen. Hvorfor er det slik? e^(xy) er jo større enn null for alle x og y. Det virket litt snodig for meg..
Teoremet sier jo at om man har en funksjon, [tex]\psi (x,y)[/tex], så finnes det en eksakt løsning på
[tex]\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0[/tex]
hvis og bare hvis
[tex]\frac{\partial ^2 \psi (x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial ^2 \psi (x,y)}{\partial x \partial y} [/tex]
Selve oppgaveløsningen er i og for seg triviell, men jeg kom til en oppgave:
[tex](ye^{xy} cos (2x) - 2e^{xy} sin (2x))dx + (xe^{xy} cos (2x) -3)dy = 0[/tex]
Og jeg tenkte umiddelbart at her kan forenklinger gjøres, og ville skrive om til:
[tex](y cos (2x) - 2 sin (2x))dx + (x cos (2x) -3e^{-xy})dy = 0[/tex]
Men da viser det seg at man mister den eksakte løsningen. Hvorfor er det slik? e^(xy) er jo større enn null for alle x og y. Det virket litt snodig for meg..