matematikk.net

Sliter litt med å se hva som er rotasjonsakse ut i fra ligninger til kvadratiske flater.

Her er noen eksempler:

[tex] 4x^2 + 4y^2 - z^2 = 0 [/tex]

Hvordan ser man her at z er rotasjonsaksen? (Er det fordi man kan sette z på en side og bare har positive ledd på andre siden?)

[tex] y^2 - x^2 - z^2 = 1 [/tex]

Hvordan ser man at rotasjonsaksen her er y? (Er det fordi man kan sette y på en side og bare har positive ledd på andre siden?)

[tex] x^2 + y^2 = z [/tex]

Her er rotasjonsaksen z, noe som virker naturlig egentlig, men det er bare intuisjonen min som sier det. Har liksom ikke metode for å finne rotasjonsaksen, noen som har noen forslag? Er det slik som jeg har antatt i parantesene?

Med "rotasjonsaksen" antar jeg du mener den aksen som er sånn at dersom du roterer rundt figuren så forandres ikke figuren?

I så fall, en rotasjon om z-aksen tilsvarer å sende punktet (x,y) til et annet punkt på samme sirkel om z-aksen parallelt med xy-planet? (hvorfor er det sånn)

Formelen for ethvert punkt på en sånn sirkel er med vektornotasjon [tex][\sqrt{x^2+y^2}\cos{\theta},\sqrt{x^2+y^2}\sin{\theta}][/tex], for enhver vinkel [tex]\theta[/tex]. (hvorfor)

Poenget er at dersom du substituerer (x,y) med punktet gitt ovenfor, og figuren holder seg konstant, så må rotasjon om z-aksen forholde figuren konstant.

Det er tilsvarende for rotasjon om y- og x-aksen.

Vi ser på den første:

[tex]4x^2+y^2-z^2=0[/tex]

Vi transformerer til sylindriske coordinater [tex](r^2=x^2+y^2)[/tex]. Da får vi

[tex]4r^2-z^2=0[/tex]

Det samme går for nummer to, men vi setter y til høydeaksen:

[tex]y^2-r^2=1[/tex]

Når du har to koordinater som eksklusivt opptrer slik : [tex]cx^2+cy^2[/tex] kan du ta [tex]\hat{x}\times\hat{y}[/tex] som akse for sylindrisk symmetri. Dette forutsetter at koordinaten [tex]\theta[/tex] ikke spiller en rolle i uttrykket. For eksempel har

[tex]z^2=x^2+y^2+\cos\,\theta[/tex]

ingen rotasjonssymmetri.

Litt ekstremt eksempel:

Siden

[tex]x^2-4xy-4xz+4y^2+4z^2-10yz=0[/tex]

kan skrives som

[tex](x+y+z)^2=(x+y-2z)^2+(x-2y+z)^2[/tex]

, kan vi si at vi har sylindrisk symmetri langs [tex][1,1,-2]\times[1,-2,1]=[-3,-3,-3][/tex], altså langs aksen [tex][1,1,1][/tex]