Approksimert rekke for sqrt()

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
drgz
Fermat
Fermat
Posts: 757
Joined: 24/12-2008 23:22

Stusset på en ting ang. en approksimert rekkeutvikling for sqrt() i en phd-avhandling jeg leser på nå. Forhåpentligvis kan noen peke ut hvor jeg tenker feil.

Det står følgende (for [tex]xx^*<1[/tex] der [tex]x[/tex] er et komplekst tall og * står for komplekskonjugert)

[tex]\sqrt{xx^*} = (1+(xx^*-1))^{\frac12} = \sum_{k=1}^{\infty} \left({\frac12 \atop k}\right) (xx^*-1)^k[/tex]

der den generelle binomiale(?) rekken for uttrykk med en vilkårlig eksponent er benyttet. Så langt er det greit.

Deretter utvider forfatteren [tex](xx^*-1)^k[/tex] delen av det forrige uttrykket igjen med en "vanlig" binomial-rekke (heltallig eksponent) (ser det ut som i alle fall), noe som gir

[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\left({\frac12 \atop k}\right)\sum_{m=0}^{k}\left({k\atop m}\right)\left(xx^*\right)^{k-m} = \sum_{k=1}^{\infty}p_k\left(xx^*\right)^k[/tex]

der [tex]p_k[/tex] er en konstant.

Det jeg stusser litt på er følgende:

1) I den første utvidelsen: burde ikke rekken gå fra [tex]k=0\rightarrow\infty[/tex] og ikke [tex]k=1\rightarrow\infty[/tex] som forfatteren har skrevet? (http://wapedia.mobi/en/Binomial_series)
2) I den andre utvidelsen: skulle ikke det resulterende uttrykket inneholde [tex](-1)^m[/tex]? (http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient)
3) Og hvordan kan summen over [tex]m[/tex] inkluderes i en konstant, [tex]p_k[/tex], når en del av det resulterende uttrykket er på formen [tex](xx^*)^{k-m}[/tex]?

Når jeg regner på dette selv ender jeg opp med noe ala

[tex]\sum_{k=0}^{\infty}\left({\frac12 \atop k}\right)\sum_{m=0}^{k}\left({k\atop m}\right)(-1)^m(xx^*)^{k-m}[/tex],

som da er annerledes. Så da er spørsmålet hvor jeg evnt. gjør feil, eller hvor det går an å gjøre antagelser slik at en ender opp med det som står i avhandlingen? Noen tips?
Charlatan
Guru
Guru
Posts: 2499
Joined: 25/02-2007 17:19

på 1) og 2) kan jeg ikke se hvorfor forfatteren har skrevet det han har gjort, men konklusjonen 3) er imidlertid riktig (utenom det faktum at rekken faktisk kan divergere, men anta at begge konvergerer), ettersom alle ledd er på formen [tex]C(xx*)^k[/tex] for en konstant C. Ved å hope sammen alle med lik eksponent får vi summen for noen koeffisienter [tex]p_k[/tex].
drgz
Fermat
Fermat
Posts: 757
Joined: 24/12-2008 23:22

Tusen takk for forklaringen for punkt 3. Skal undersøke litt nærmere på 1) og 2). Får se om jeg kanskje kan finne kontaktinfo til forfatteren og høre med han hva som er greia.
Post Reply