matematikk.net

Vi har fått oppgitt:

[symbol:funksjon] (x,y) = x* (e ^ -((x^2+y^2)/2))

Mitt spørsmål er:
Hvordan finner man absolutte minimumspunkt og maksimumspunkt?

Jeg har funnet de lokale maks / min.


(Jeg fant ikke hvor det stod hvordan man skriver funksjoner / matematiske uttrykk, derfor er det kanskje litt vanskelig å se hvordan funksjonen er)

Er det ikke bare the største maksimumet/det minstet minimumet da? Hvis du har de lokale, kan du ikke bare fine hvilket som er størst/minst?

Edit:

Funksjonsuttrykket er vel [tex]f(x,y)=xe^{-\frac{x^2+y^2}{2}}[/tex]

Ja ok

Men vi må også bevise at de punktene vi har funnet faktisk er absolutt minimum og absolutt maksimum.

Jeg skjønner ikke hvordan man begrunner det?
Utenom å si at de er de største og minste verdiene. I oppgaven fant jeg minimum: (-1,0) og maksimum: (1,0)

Du må derivere med hensyn på begge variablene og finne lokale topp/bunnpunkt (Slik du har gjort?). I tillegg må du sjekke etter singulære punkt og randpunkter. Når du har funnet lokale maks/min så velger du det det minst/største punktet til å være absolutt min/maks. (Jeg har ikke sett absolutt min/maks brukt før, men antar det betyr det samme som global min/maks).

Det er det samme som globale maks/min ja.

Men hvordan beviser man det?
Er det liksom nok å bare finne punktene?

(er vel ikke noe randpunkter når vi ikke har fått noe intervall?, hvordan finner man i såfall intervallet? )

Tja. Bevise og bevise. Man kan bruke teorem 1 og 2 i Calculus kap 13. (Adams og Essex). Jeg vet dog ikke hvilken bok du bruker.

Theorem 1: A function f(x,y) can have a local or absolute extreme value at point (a, b) in its domain only if (a, b) is on of the following:
(a) a critical point of f, that is, a point satisfying grad f(a,b) = 0
(b) a singular point of f, that is, a point where grad f(a,b) does not exist, or
(c) a boundary point of the domain of f

Theorem 2: If f is a continues function of n variables whose domain is a closed and bounded set in R^n, then the range of f is a bounded set of real numbers, and there are points in its domain where f takes on absolute maximum and minimum values.

(Jammen hadde jeg brukt absolutt min/maks allikevel )

Ihvertfall, hvis du ikke har fått noe intervall, så er konvensjonen at man velger det største intervallet den er definert på. For din funksjon skulle det bli x, y = R.

Siden du ikke har ett lukket intervall, kan man ikke bruke Teorem 2, men det er jo ganske opplagt at dersom det er flere lokale min/maks, så velger man den den minste og største verdien til absolutt min/maks. Om det er innlevering/eksamen er det sikkert ikke dumt å sette opp noen ulikheter og argumentere for valget, men noe mer bevis kan jeg ikke se for meg er nødvendig.

Som espen sier, når du har alle ekstremalpunktene, finn den største og minste verdien. Sett inn verdiene for ekstremalpunktene i funksjonen, og de punktene som gir størst og minst verdi er henholdsvis globale maksima og minima.