matematikk.net

Har et spørsmål når det gjelder egenrommene, som jeg lurer på om noen kan forklare:

Når jeg har funnet egenverdiene, regnet ut matrisen. Brukt gauss så sfår jeg en slik matrise:
5,1,-3
0,0,0
0,0,0
Da skal jeg finne basisen for egenrommet. Vet at jeg skal regne ut x1,x2ogx3, men skjønner ikke helt hvordan jeg skal lese/regne ut fra svaret jeg har fått.
Vet at svaret skal være x[sub]2[/sub]=3x[sub]3[/sub]-5x[sub]1[/sub].
Og da blir egenrommene slik
1 0
-5 3
0 1
Det her jeg sliter om hvordan kan jeg lese at egenrommene er slik.

Å bestemme egenrommet tilhørende en egenverdi [tex]\lambda[/tex] er det samme som å bestemme nullrommet til matrisen [tex]A-\lambda I[/tex]. Antar du kan dette med å finne basis for nullrommet... Det er helt basic innen lineæralgebra som du rett og slett må kunne..

Ja det e akkurat det jeg e usikker på.

[tex]A=\begin{pmatrix} 5&1&-3 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}[/tex]

Da er [tex]x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ 3x_3-5x_1 \\ x_3\end{pmatrix}[/tex]

løsning på ligningen Ax=0, der [tex]x_1[/tex] og [tex]x_3[/tex] er frie variable i betydningen at vi fritt kan velge hva de er.

Vi kan omskrive løsningen, slik:

[tex]\begin{pmatrix} x_1 \\ 3x_3-5x_1 \\ x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}[/tex]. En basis for egenrommet vil dermed bestå av vektorene[tex] \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 0\end{pmatrix}[/tex] og [tex]\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}[/tex]

Det er akkurat det siste jeg sliter med der du skriver at vektorene er x1 (1,-5.0) og x[sub]3[/sub](0,3,1). Når jeg ser på matrisen så utifra den ville jeg lest at x[sub]1[/sub] er -5, osv. Det er der jeg sliter. Hvorfor blir det slik? Håper du forstår hva jeg mener.

Rommet består av alle vektorer på formen [tex]\begin{pmatrix} x_1 \\ 3x_3 - 5x_1 \\ x_3 \end{pmatrix}[/tex]. Legg merke til at [tex]\begin{pmatrix} x_1 \\ 3x_3 - 5x_1 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x_1 + 0x_ 3 \\ - 5x_1 + 3x_3 \\ 0x_1 + 1 x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x_1 \\ - 5x_1 \\ 0x_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0x_ 3 \\ 3x_3 \\ 1 x_3 \end{pmatrix} = x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ - 5 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix} 0\\ 3 \\ 1\end{pmatrix}[/tex], og nå er det kanskje lettere å se hvorfor basisen blir som den blir.

Takk det var forklarende, nu skjønner jeg