matematikk.net

Oppgave:

La T være legemet begrenset av av flatene:

[tex] z = 2x^2 + y^2 [/tex] og [tex] z = 2x + x^2 [/tex]

Vis at projeksjonen av T ned i xy-planet er en sirkelskive men senter i (1,0) og radius 1. Bestem volumet av T.

Foreløpig løsning

Setter z = z for å finne projeksjon:

[tex] 2x^2 + y^2 = 2x + x^2 \\ (x-1)^2 + y^2 =1 [/tex]

Dette viser at projeksjonen er en sirkel med senter [tex](1,0)[/tex] og [tex]r = 1[/tex]

Skal så finne volumet, gjør da projeksjonen om til polarkoordinater:
[tex]x^2 + y^2 = 2x[/tex]
[tex]r^2 = 2 cos t [/tex]

Lurer da på hvordan en kan vite hva skal vinkelen skal gå fra og til på dette integralet?

(faist sier at [tex]r = 2cost \ \ \ \ -\frac{\pi}{2}< t < \frac{\pi}{2}[/tex], skal være mindre eller lik og større eller lik her)

Området du skal integrere over i xy-planet er en sirkel med radius 1 og senter i (1,0). Altså må vinkelen gå fra [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex] til [tex] \frac{\pi}{2}[/tex].

Videre bruker vi ligningen

[tex](x-1)^2+y^2=1[/tex] som angir grensene til integrasjonsområdet.

I polarkoordinater blir dette

[tex](x-1)^2+y^2=x^2+y^2-2x+1=1[/tex] så

[tex]r^2=2\cos(t)[/tex]

Hvordan kan du si ut i fra sirkel med radius 1 og sentrum (1,0) at vinkelen skal gå i det intervallet?

Jeg er vant med sirkler i origo, da er det jo alltid [tex]0[/tex] til [tex]2\pi[/tex]..

Kan du uten videre si hvilke grenser en sirkel med radius 2 senter (3,4) vil være?

I tillegg så er jeg med på hvordan en kommer frem til [tex] r^2 = 2cos(t) [/tex]

Men jeg trodde da at integrasjonsintervallet ville være [tex]r = 0[/tex] til [tex] r = \sqrt{2cos(t)} [/tex].. i motsetning til [tex]r = 0[/tex] til [tex] r = 2cos(t) [/tex] som fasit sier?

Tangenten i origo danner rett og slett y-aksen. Det siste du sier ser riktig ut for meg.

Thor-André wrote:Oppgave:
Skal så finne volumet, gjør da projeksjonen om til polarkoordinater:
[tex]x^2 + y^2 = 2x[/tex]
[tex]r^2 = 2 cos t [/tex]
Lurer da på hvordan en kan vite hva skal vinkelen skal gå fra og til på dette integralet?
(faist sier at [tex]r = 2cost \ \ \ \ -\frac{\pi}{2}< t < \frac{\pi}{2}[/tex], skal være mindre eller lik og større eller lik her)

blir det ikke sånn?
[tex]x^2 + y^2 = 2x[/tex]
[tex]r^2=2r\cos(t)[/tex]
[tex]r=2\cos(t)[/tex]

Aha! Så ikke den r'en jeg Tusen takk

Men vinkelgrensene da, noen som har noe lurt å opplyse meg om der?