matematikk.net

Jeg satt og gjorde noen oppgaver og kom på nytt over et argument jeg har sett før, men ikke helt fått taket på. La oss si vi har en matrise A med søyler a1, a2, a3, a4 og vi radreduserer denne. Hvis vi så ender opp med at de to første søylene i den radresuserte matrisen er pivot-søyler, så sier argumentet at de to første søylene i den oprinnelige matrisen A er lineært uavhenige. Er det noen som har noen oppklarende ord om hvorfor det er eller må være slik?

Poenget her er at en lineær avhengighetsrelasjon mellom et sett med vektorer fortsatt holder om du radreduserer matrisen med disse vektorene som søyler. Det vil si at om [tex]c_1 v_1 + \ldots + c_4 v_4 = 0[/tex] og vektorene [tex]v_1, \ldots v_4[/tex] som søyler i en matrise V kan radreduseres til de fire vektorene [tex]w_1 \ldots w_4[/tex] vil vi også ha at [tex]c_1 w_1 + \ldots + c_4 w_4 = 0[/tex] - altså gjelder den samme lineære avhengighetsrelasjonen med de samme konstantene. Grunnen til at det er sånn er noe uformelt at vi ved radredusering hele tiden legger til det samme i hver komponent. Altså har vi at om de to første søylene i en matrise hadde vært lineært avhengige hadde de også vært det når de ble radredusert, og om de blir pivotsøyler kan de jo ikke være det. (Beklager noe kort forklaring.)