matematikk.net

Et massepunkt med masse m beveger seg i et kraftfelt

[tex] G(x, y, z) = m[-x, -y] [/tex]


langs en kurve C slik at posisjonen (x, y, z) ved tidspunkt t er gitt ved

[tex] x = cos t \\ y = sin t \\ z = 2t \\ 0 \le t < 4\pi [/tex]

a) Vis at summen F av alle krefter som virker på massepunktet under bevegelsen langs C
er F = G. Hint: Newtons andre lov sier at F = ma.
Hvilken starthastighet v(0) må massepunktet settes igang med for at den skal følge C?

b) Bestem komponentene av G som gir henholdsvis fartsendring og retningsendring for massepunktet.

c) Finn arbeidet som G utfører under bevegelsen.

Har gjort a) og fått den til, men lurer på hvordan en skal gjøre b? er det noen generell fremgangsmåte? og ikke bare "ser lett at..." ?

er ikke b) bare:

[tex]\vec v(t)=|\vec r^,(t)|[/tex]

LF sier:

Av a) ser vi at farten

[tex] v(t) = \sqrt{5} [/tex]

er konstant under hele bevegelsen. Kraftfeltet G gir derfor bare retningsendring. Det vil
si, komponenten av G som gir fartsendring er lik 0 og komponenten som gir
retningsendring er G.

Altså dette er greit nok i seg selv å forstå.. men hvordan skulle en funnet fartsendring/retningsendring hvis farten ikke var konstant? Si farten var [tex] v(t) = 2t [/tex] ?

Fremgangsmåten er jo dette med å dekomponere G i en radiell og en angulær komponent. En ser jo fort at vektoren G peker normalt på banen til punktmassen, dermed gir feltet kun opphav til retningsendring.

Okei, takk for hjelpen

Dekomponering i radiell og angulær komponent, hvordan gjøres dette?

vi har lært å dekomponere akselerasjonsvektor ved formelen:

[tex] \vec{a}(t) = v\prime(t)\cdot \vec{T}(t) + \kappa(t)v^{2}(t)\cdot \vec{N}(t) [/tex]

Gjelder samme for dekomponering av andre vektorer eller?