matematikk.net

Hallo.
Jeg ser litt over tidligere eksamensoppgaver, og har funnet en som jeg rett og slett ikke engang får startet på.

"Vi vil se på funksjonsfølgen [tex]\{f_n\}[/tex] der [tex]f_n (x) = x^n (1-x^n)[/tex].
a) Er funksjonene kontinuerlige på I=[0,1]?

b) Vis at på [1,0] konvergerer funksjonsfølgene punktvis mot funksjonen f(x)=0.

c) Deriver funksjonen i følgen.

d) Hver funksjon har ett maksimalpunkt [tex](a_n, b_n)[/tex] på I=[0,1]. Finn dette. (M.a.o. finn [tex]a_n[/tex] og [tex]b_n[/tex] der [tex]a_n[/tex] er den x-verdien som gir maksimum for [tex]f_n[/tex] og [tex]b_n = f(a_n)[/tex].

e) Undersøk om funksjonsfølgen konvergerer uniformt mot f=0 på I=[0,1].

f) Finn [tex]d_n = \int_0^1 f_n (x) dx[/tex]. Finn deretter [tex]d= \lim_{n \to \infty} d_n[/tex]. Sammenlign dette med at [tex] \int_0^1 f_n (x) dx = 0[/tex]. Kommenter det du finner i forhold til hva vi vet om integraler og uniform konvergens."

a) Jeg ser ikke helt hvordan jeg skal starte å bevise at funksjonene er kont. på I.
b) Her er det vel et epsilon-delta bevis som må til?
c) Jeg ser ikke helt hvilken variabel jeg skal derivere med hensyn til.
d) Her er det vel bare å sette den deriverte lik 0, og se hvilken x-verdi som gir et toppunkt?
e) Dette er jeg også litt usikker på. Jeg må vel vise at den konvergerer mot f=0 for ALLE x, med en fast n?
f) Dette har jeg ikke gjort noen formening om enda.

På forhånd takk.

[tex]f_n(x)[/tex] er åpenbart et polynom, og hva vet du om polynomer?

På b trenger du ikke involvere epsilon og delta (selv om det selvsagt er god øvelse). Du kan like gjerne bruke elementære regler for grenseverdier.

Du skal derivere med hensyn på x, ettersom meningen er å finne toppunktet til [tex]f_n(x)[/tex], og det gjør du på vanlig måte.

Bruk definisjonen på uniform konvergens. En funksjon konvergerer uniformt mot en annen på et intervall dersom den største differansen mellom dem på intervallet går mot 0. Her må du altså vise/motbevise at [tex]\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| \to 0[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex].

f) er du sikker på at du har skrevet denne nøyaktig fra oppgaveteksten? Jeg tenker spesielt på integranden i integralet du skriver etter "Sammenlign dette med at..."

Tusen takk for svar. Virkelig til god hjelp ettersom eksamen er i morgen.


Polynomer er kontinuerlige, selvfølgelig.

Er det da en fordel å dele det opp i to intervaller? Jeg tenker da først for x=1, så for 0 < x < 1?
(Om jeg slipper epsilon-delta, så gjør jeg gjerne det)

Så jeg skal altså behandle x som variabelen?

Altså blir [tex]sup |f_n (x)| = |f_n (x) - f_n (x_0)|[/tex] hvor [tex]x_0[/tex] er x-verdien som gir et toppunkt?

Du har selvfølgelig rett at det snek seg inn en feil. Jeg kopierte den andre koden, og da fulgte det jo med en n for mye i subskript. Det riktige skal selvfølgelig være [tex]\int_0^1 f(x) dx = 0[/tex].

wingeer wrote: Er det da en fordel å dele det opp i to intervaller? Jeg tenker da først for x=1, så for 0 < x < 1?

Ja, det virker fornuftig.

wingeer wrote: Så jeg skal altså behandle x som variabelen?

Ja, det du har er da en funksjon i x.

wingeer wrote: Altså blir [tex]sup |f_n (x)| = |f_n (x) - f_n (x_0)|[/tex] hvor [tex]x_0[/tex] er x-verdien som gir et toppunkt?

[tex]\sup |f_n(x)|[/tex] er den største absoluttverdien [tex]f_n(x)[/tex] tar på intervallet, og den er jo selvsagt lik toppunktet.

Ja, det er jo sant. Så om absoluttverdien av toppunktet går mot f=0 når n går mot uendelig, så konvergerer funksjonsfølgen uniformt.

I f, er da poenget å vise at det er forskjell på å sette grenseverdibetraktningen innenfor og utenfor integralet?

Om det er en forskjell eller ikke får du se. Hvis ikke antar jeg det er meningen å forklare hvorfor det ikke går galt.

Ah. Klart. Gitt at følgen er uniform konvergent, så vil ikke svaret bli forskjellig. Dette er vel fordi "epsilon-pølsa" blir som en hylse over funksjonen den konvergerer uniformt mot på intervallet. Derfor er det ingen forskjell på om en bruker [tex]\lim_{n \to \infty} f_n (x)[/tex] som faktisk er lik [tex]f(x)[/tex] på I.
Holder det?

Men er den uniformt konvergent?

Vel, gitt at den er det. Jeg har enda ikke sjekket.

Funksjonsfølgen er ikke uniform konvergent.
Om en ser på det høyeste punktet den oppnår, så får en 1/4. Derfor finnes det ingen epsilon større enn null som tilfredsstiller epsilon > f_n(x) for alle x.

For f) får jeg at [tex]\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n (x) dx = 0 = \int_0^1 f(x) dx[/tex]. Det virker for meg litt rart, siden jeg har vist at [tex]\lim_{n \to \infty} f_n(x) \neq f(x)[/tex].
Så selv om funksjonsfølgen ikke er konvergent, er altså [tex]\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n (x) dx = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n (x) dx[/tex]. Hvorfor?

wingeer wrote:Derfor finnes det ingen epsilon større enn null som tilfredsstiller epsilon > f_n(x) for alle x.

Det gjør det vel, ta f.eks epsilon = 1/2. Det som deriomot stemmer er at det finnes en epsilon slik at [tex]\sup f_n(x)[/tex] > epsilon for alle n.

Selv om vi vet at [tex]\int^1_0 f_n(x) dx \to \int^1_0 f(x) dx[/tex] når f_n konvergerer uniformt mot f, betyr ikke at den må gjøre det for at integralene skal konvergere. Vi vet bare at uniform konvergens er en garanti for det. Hvorfor det skjer i dette tilfellet kan imidlertid forklares på en annen måte.

Charlatan wrote: Det gjør det vel, ta f.eks epsilon = 1/2. Det som deriomot stemmer er at det finnes en epsilon slik at [tex]\sup f_n(x)[/tex] > epsilon for alle n.

Aha. Kan en da si at så lenge det finnes minst en epsilon som er mindre enn funksjonsfølgen, så er den ikke uniform konvergent?

Charlatan wrote: Selv om vi vet at [tex]\int^1_0 f_n(x) dx \to \int^1_0 f(x) dx[/tex] når f_n konvergerer uniformt mot f, betyr ikke at den må gjøre det for at integralene skal konvergere. Vi vet bare at uniform konvergens er en garanti for det. Hvorfor det skjer i dette tilfellet kan imidlertid forklares på en annen måte.

Det er jo sant som du sier. Jeg tenkte innom tanken selv. Likevel ser jeg ikke helt hvordan jeg kan forklare det.

wingeer wrote: Aha. Kan en da si at så lenge det finnes minst en epsilon som er mindre enn funksjonsfølgen, så er den ikke uniform konvergent?

Motsatt, dvs hvis det finnes en epsilon mindre enn den største differansen mellom f_n og f for alle n > N for et heltall N. I så fall er den ikke uniform konvergent. Hvis en slik epsilon ikke finnes, er følgen uniformt konvergent.

Ja. Da tror jeg at jeg forstår. Siden den største differansen er 1/4, og en lett finner epsilon som er mindre enn dette. En ønsker altså at differansen skal være mindre enn epsilon. Om den største differansen var 0, ville vel følgen vært uniform konvergent. Er det tilfellet hvis og bare hvis differansen er 0? Og vil differansen generelt skrives [tex]|\sup{f_n(x)} - f(x)|[/tex]?
(Eller roter jeg fælt med notasjonen nå? Jeg mener hvertfall "Den største verdien av funksjonsfølgen, minus funksjonen")

Har du mulighet, og lyst, til å utdype litt om hva som skjer med integralene i dette tilfellet?

wingeer wrote:Ja. Da tror jeg at jeg forstår. Siden den største differansen er 1/4, og en lett finner epsilon som er mindre enn dette. En ønsker altså at differansen skal være mindre enn epsilon. Om den største differansen var 0, ville vel følgen vært uniform konvergent. Er det tilfellet hvis og bare hvis differansen er 0? Og vil differansen generelt skrives [tex]|\sup{f_n(x)} - f(x)|[/tex]?

Har du mulighet, og lyst, til å utdype litt om hva som skjer med integralene i dette tilfellet?

Det er [tex]\sup |f_n(x) - f(x)|[/tex], og den trenger ikke være lik 0, den må gå mot 0 når n går mot uendelig.

Siden funksjonsfølgen konvergerer punktvis, og f_n er begrenset av en M for alle n så kan det i hvert fall intuitivt sies at integralene av f_n konvergerer mot integralet av f dersom f er kontinuerlig.