matematikk.net

Hei, forbereder meg til r1 eksamen her og skjønner ikke denne oppg helt:

Finn asymptotene og skisser grafen til funksjonen:
f(x) =(x^3+8)/(x^2-4)

Her får jeg
vertikale: [symbol:rot] 4 = + og -2. MEN. fasiten sier bare x=2...?

Horisontale: når jeg delte på den høyeste graden av x her, altså x^3 fikk jeg 1/0 = eksisterer ikke. Men svarer sier : y=x er skrå asymptote.

Nå skjønner jeg ikke helt hva dette med skrå asymptoter er, hvordan regner man med dem?

Håper på raskt svar!!

[tex]f(x)=\frac{x^3+8}{x^2-4}[/tex]

[tex]f(x)=\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x-2)(x+2)}[/tex]

[tex]f(x)=\frac{x^2-2x+4}{x-2}[/tex]

Også jobber du herfra. Utfør polynomdivisjon, og se hva som skjer når
[tex]\lim_{x \to \infty} f(x)[/tex]

[tex]f(x)=\frac{x^3+8}{x^2-4} = \frac{x^3+8}{(x+2)(x-2)}[/tex]

[tex]x^3+8[/tex] er delelig på [tex](x+2) [/tex] fordi [tex](-2)^3+8 = 0[/tex]

Vi har altså [tex]\frac{x^2-2x+4}{(x-2)}[/tex]

Da er det opplagt at den vertikale asymptoten er [tex]x=2[/tex].

Om vi nå tar grenseverdien av funksjonen mot uendelig blir bare to av faktorene vesentlige: [tex]y=f(x)=\frac{x^2}x=x[/tex].

Og der har du den skrå asymptoten.[/tex]

Gommle, det du skriver at bare to av verdiene spiller en rolle, fungerer bare når funksjonen er på formen. [tex]f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex]

Da er den vertikale asymptoten lik [tex]-\frac{d}{c}[/tex] og den horisontale [tex]\frac{a}{c}[/tex]

Et annet eksempel

[tex]g(x)=\frac{x^2+x-2}{2x-4} [/tex]

Her er det firstende å si at den horisontale asymptoten er 2 og den vertikale asymptoten er [tex]\frac12x[/tex] men dette stemmer ikke. Utfører man polynomdivisjon, ser man at g(x) kan skrives som:

[tex]g(x)=\frac{1}{2}x + \frac 32 + \frac{4}{2x-4}[/tex]

Når [tex]\lim_{x \to \infty}g(x)[/tex] så går [tex]g(x)[/tex] mot [tex]\frac{1}{2}x + \frac32 [/tex] siden [tex]\frac{4}{2x-4}[/tex] går mot [tex]0[/tex] når [tex]x\to\infty [/tex]

Yup. Et under at jeg bare har fått funksjoner dette funker på under prøver