matematikk.net

sliter med bevisen........

en rekke er gitt ved at a1 [symbol:identisk] 2 og an+1 [symbol:identisk] an+n+2
1) skriv opp de 5 første leddene i rekken.
2) bruk induksjon til å bevise at det generelle leddet er an [symbol:identisk] n(n+3)/2

[tex]a_1=2\\a_{n+1}=a_n+n+2[/tex]

[tex]a_1=2\\a_2=2+1+2=5\\a_3=5+2+2=9\\a_4=9+3+2=14\\a_5=14+4+2=20\\[/tex]

Hypotese: [tex]a_n=\frac{n(n+3)}{2}[/tex]

n=1:
a_1 = 4/2=2
Stemmer

Vi antar det stemmer for n=k:
[tex]a_k=\frac{k(k+3)}{2}[/tex]

Prøver å vise at det stemmer for k+1 om vi bruker antagelsen:
[tex]a_{k+1} = a_k + n + 2[/tex]

Men vi har jo antatt hva a_k er, så vi bytter den ut:

[tex]a_{k+1} = \frac{k(k+3)}{2} + n + 2 = \frac{(k+1)(k+4)}{2}[/tex]

som var det vi trengte å vise.