matematikk.net

Et teorem i boken sier at
"Alle utvidelser av kropper med karakteristikk ulik 0 er perfekte."

Og perfekt betyr at alle utvidelser er separable, som betyr at [tex][E:F]=\{ E: F \}[/tex] (hvor venstresiden betegner graden av utvidelsen, mens høyresiden betegner antall automorfier av E som fikserer F).

Dette burde tilsi at [tex]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/tex] er separabel. Men [tex][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3[/tex] og {[tex]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}[/tex]}[tex]=1[/tex] siden kun identitetsautomorfien er mulig (de to andre konjugerte til [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] er utenfor utvidelsen)

Hva er det jeg (evt?) ikke forstår?

Feilen du har gjort er der du viser at {[tex] \mathbb{Q} (\sqrt[3] 2 ):\mathbb{Q} [/tex]}[tex]=1[/tex]. Du har rett i at det bare er én automorfi av [tex]\mathbb{Q} (\sqrt[3] 2) [/tex] som fikserer [tex]\mathbb{Q}[/tex], men dette er ikke definisjonen på indeksen til en kroppsutvidelse - den er definert som antallet isomorfier av E (med en underkropp av den algebraiske tillukningen av F) som fikserer F. 'Din' definisjon holder hvis vi snakker om rotkropper, men som du påpeker er ikke [tex]\mathbb{Q} (\sqrt[3] 2 )[/tex] en rotkropp.

Det var akkurat det jeg skjønte fem minutter etter at jeg hadde gått tilbake på plassen min på lesesalen

Kanskje er ikke [tex]\mathbb{Q} (\sqrt[3] 2 )[/tex] en rotkropp.

Men FredrikM er en stor rotekopp...

Burde nesten gå i skammekroken for den der.