Kropper
Posted: 26/05-2010 17:36
Et teorem i boken sier at
"Alle utvidelser av kropper med karakteristikk ulik 0 er perfekte."
Og perfekt betyr at alle utvidelser er separable, som betyr at [tex][E:F]=\{ E: F \}[/tex] (hvor venstresiden betegner graden av utvidelsen, mens høyresiden betegner antall automorfier av E som fikserer F).
Dette burde tilsi at [tex]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/tex] er separabel. Men [tex][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3[/tex] og {[tex]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}[/tex]}[tex]=1[/tex] siden kun identitetsautomorfien er mulig (de to andre konjugerte til [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] er utenfor utvidelsen)
Hva er det jeg (evt?) ikke forstår?
"Alle utvidelser av kropper med karakteristikk ulik 0 er perfekte."
Og perfekt betyr at alle utvidelser er separable, som betyr at [tex][E:F]=\{ E: F \}[/tex] (hvor venstresiden betegner graden av utvidelsen, mens høyresiden betegner antall automorfier av E som fikserer F).
Dette burde tilsi at [tex]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/tex] er separabel. Men [tex][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3[/tex] og {[tex]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}[/tex]}[tex]=1[/tex] siden kun identitetsautomorfien er mulig (de to andre konjugerte til [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] er utenfor utvidelsen)
Hva er det jeg (evt?) ikke forstår?