matematikk.net

Her er årets siste prøve for vår del. Sannsynligvis er de fleste av dere ferdig med prøvene allerede, og det var de fleste i klassen vår også. Dessverre har jeg sluntret litt unna i vår, og lå på vippen, så sammen med en liten håndfull medelever måtte jeg ta denne "vippeprøven" i dag. Jeg poster nå prøven likevel, så håper jeg noen får bruk for den, om ikke i år, så kanskje til neste år? Håper også noen av dere vil ta dere tid til å løse noen oppgaver, jeg er nemlig vanvittig spent. Hadde vært sykt kjipt å rykke ned i karakter på vitnemålet i det aller siste semesteret av skolegangen etter nesten 6 års stødig og stabil vurdering.

Uten for mye snikksnakkerier skal ejg poste prøven nå. Hovedsakelig er det oppgavene 2a), 2b) og 5b) jeg er spent på. Jeg har som sagt sluntret veldig unna, og for bare 12 timer sidern kunne jeg ikke løse en eneste differensialligning. Hadde rett og slett ikke begynt på kapittelet enda, og ikke engang de aller, aller letteste visste jeg hvordan jeg skulle håndtere. Jobbet meg gjennom kapittelet i løpet av dagen, og tok prøven klokken 2. Med andre ord ikke verdens mest solide bakgrunn, men jeg synes det gikk fint likevel. Men som sagt; spent!

Tid: 2 skoletimer
I alle oppgavene må du vise utregningene for å få full uttelling.

Oppgave 1
Gitt differensiallikningen [tex]y^{\tiny\prime} = -y[/tex].
a)
Løs likningen ved å bruke metoden med integrerende faktor.
b)
Løs likningen som en separabel differensiallikning.
c)
Finn den integralkurven som går gjennom punktet [tex]\left( \ln 2 \large{,} \; \frac14 \right)[/tex].


Oppgave 2
Gitt differensiallikningen
[tex]y^{\tiny\prime} + \frac2x y = \frac{\sin x}{x}\large{,} \ \ \ x \neq 0[/tex]

a)
Vis at [tex]F(x)=x^2[/tex] er en integrerende faktor til differensiallikningen.
b)
Finn ved regning den generelle løsningen av differensiallikningen.


Oppgave 3
Et tomt basseng har et volum på 1000 m[sup]3[/sup]. Ved tida [tex]t=0[/tex] begynner vi å fylle vann i bassenget. La [tex]y[/tex] være vannvolumet i bassenget [tex]t[/tex] minutter seinere. Tilsiget av vann inn i bassenget har hele tida den konstante farten 3,0 m[sup]3[/sup] per minutt. Samtidig som bassenget blir fylt med vann, lekker det ut vann med en fart som til enhver tid er 0,4% av [tex]y[/tex].

a)
Forklar at [tex]y[/tex] er en løsning av differensiallikningen
[tex]y^{\tiny\prime} = 3,0 - 0,004y[/tex]

b)
Løs ligningen ved regning for å vise at
[tex]y(t) = 750 + Ce^{-0,004t}[/tex]
er en generell løsning av differensiallikningen.

c)
Bestem konstanten [tex]C[/tex] og kontrollér at løsningen du da finner passer i likningen som er gitt i oppg. a).

d)
Ettersom tida går, vil vannvolumet i bassenget stabilisere seg på en viss verdi. Finn denne verdien.


Oppgave 5
Et lodd med massen 0,20 kg henger i en elastisk fjær med fjærkonstanten k = 0,2 N/m og friksjonstallet 0,5 Ns/m. Vi trekker i loddet og slipper det. La [tex]y[/tex] være posisjonen til loddet målt i meter etter [tex]t[/tex] sekunder.

a) 1)
Vis at [tex]y[/tex] må være en løsning av differensiallikningen
[tex]y^{\tiny{\prime\prime}} + 2,5y^{\tiny\prime} + y = 0[/tex]

a) 2)
Finn den generelle løsningen av differensiallikningen.

b)
Vi trekker loddet 20 cm over likevektsstillingen og slipper loddet uten startfart. Finn denne spesielle løsningen [tex]y=f(t)[/tex] av differensiallikningen.

c)
Undersøk ved regning om loddet vil passere likevektsstillingen.


That's it. Skjønner ikke hvorfor jeg ikke har lest på differensiallikninger før, de var jo litt morro.

Oppgave 5
Et lodd med massen 0,20 kg henger i en elastisk fjær med fjærkonstanten k = 0,2 N/m og friksjonstallet 0,5 Ns/m. Vi trekker i loddet og slipper det. La være posisjonen til loddet målt i meter etter sekunder.

b)
Vi trekker loddet 20 cm over likevektsstillingen og slipper loddet uten startfart. Finn denne spesielle løsningen av differensiallikningen.

Kan ikke LaTeX, men here goes:

Generelt uttrykk:

Y = Ce^(-0.5x) + De^(-2x)

Y(0) = 0.2 --> C + D = 0.2 //(e^(0) = 1)
Y'(0) = 0


Y'(t) = -0.5Ce^(-0.5x) -2*De^(-2x) //(Kjerneregel)

Y'(0) = -0.5C -2D = 0
C= -4D

Setter inn i den første ligningen (C+ D) = 0.2
-4D +D = 0.2
D = (-1/15)
C = 4/15


Y = 4/15e^(-0.5x) -1/15e^(-2x)

nike_man wrote: Y = 4/15e^(-0.5x) -1/15e^(-2x)

Uff, jeg hadde omvendt fortegn.
[tex]y = \frac{1}{15} \cdot e^{-2t} - \frac{4}{15} \cdot e^{-0,5t}[/tex]
svarte jeg...

Har du et svar på 2b)?

Gang gjennom med [tex] x^2[/tex]. Da blir

[tex](x^2y)^,=x\sin(x)[/tex]

Delvis integrasjon gir dermed at

[tex]x^2y=\int x\sin (x)\, dx=[-x\cos (x)]+\sin (x)+ C[/tex]

Vi kan skrive dette som

[tex]x^2y=\sin (x)-x\cos (x) +C[/tex] som gir løsningen

[tex]y=\frac{\sin (x)}{x^2}-\frac{\cos (x)}{x}+Cx^{-2}[/tex]

Vi må verifisere at dette er løsningen. Derivasjon av y gir:

[tex]y^,=-2x^{-3}\sin (x)+x^{-2}\cos (x)+x^{-2}\cos (x)+x^{-1}\sin (x)-2Cx^{-3}[/tex]

Vi får dermed at

[tex]y^,+2yx^{-1}=x^{-1}\sin (x)[/tex] så løsningen stemmer.

plutarco wrote:[tex]y=\frac{\sin (x)}{x^2}-\frac{\cos (x)}{x}+Cx^{-2}[/tex]

Herlig, den fikk jeg.
Angående den 5b), var det jeg eller nike_man som slurvet med fortegnene? Hvis du ser

Jeg fikk dessverre det samme svaret som nike_man...