matematikk.net

Skal vise at [tex]Re(z) = 0 \ \forall\ z[/tex] når [tex] (z+1)^{100}=(z-1)^{100}[/tex].
Ser at

[tex]\omega^{100}=\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^{100} = 1[/tex]

og finner at [tex]\omega_k = e^{\frac{k\pi i}{50}}, k=0,1,2,...,99[/tex].
Dermed må

[tex]\frac{z+1}{z-1} = \omega_k \Leftright z = \frac{1+\omega_k}{\omega_k -1}[/tex],

men hvordan kan jeg vise at [tex]Re(z) = 0[/tex] for alle k?

Sett [tex]a=\cos(\frac{\pi ki}{50})[/tex] og [tex]b=\sin(\frac{\pi k i}{50})[/tex].

Da er z på formen [tex]\frac{1+a+ib}{-1+a+ib}[/tex] som kan skrives om på standard form ved å multiplisere med den konjugerte av nevneren over og under brøken. Vi får at [tex]z=\frac{bi}{a-1}[/tex] som er rent imaginær.

Eventuelt kan det sees geometrisk. Likningen gir |z+1|=|z-1|.

0, z+1 og z-1 danner altså en likebeint trekant.

Linjesegmentet z+1 og z-1 er parallelt med den reelle aksen, så vi ser at midtpunktet z må være på den imaginære aksen.