matematikk.net

Har et resultat som sier at for en analytisk funksjon f(z) så er f(z) konstant på et domene D hvis en av de følgende egenskapene holder på D: Re f(z) = konst, Im f(z) = konst, eller |f(z)|= konst.

Skal så vise ved motsigelse at f(z) = |z^2 - z| er ingensteds analytisk på grunn av akkurat dette resultatet.

Har en ide om at dette kan gjøres ved å anta at f er analytisk og så vise at et av de følgende egenskapene ovenfor holder på et domene + at f(z) ikke er konstant på dette domene. Videre ser jeg at Re f(z) = |f(z)| = f(z).. Men hvordan jeg kan gå frem for å vise dette ser jeg ikke.

Hint: Absoluttverdien av et komplekst tall er reelt, og har derfor ingen imaginærdel.

Anta at f er analytisk på en åpen disk B(z0:e) med senter i z0 og radius e>0.

Studerer du ligningen |z^2-z|=f(z0) er løsningen z lukkede kurver gjennom punktet z0, så uansett hvor liten du gjør radiusen e, vil aldri f(z) kunne være konstant på hele B.

Karl-Erik: Denne observasjonen hadde jeg jo faktisk gjort meg. Jeg nevnte jo at f(z) = Ref(z). Morsomt hvor nær man kan være løsningen og fortsatt forbli blind for den. Men takk for at du gjorde meg mer oppmerksom

Plutarco: Dette prøvde jeg meg på. Det som stoppet meg var at jeg hang meg opp i hvordan kurver dette kunne være, men de må jo selvfølgelig være kurver når de faktisk er konturkurver til en funksjon av to variable og ingen kurve kan vel tilsvare en åpen mengde? Alltid fint å se ting fra flere sider. Takk,takk

Janei, i dette tilfeller er vel nivåkurvene til f(z) sirkler (to punkter når k=0, to sirkler når k er mellom 0 og 1, og én sirkel når k>1), så da burde vel argumentet holde.

På den annen side fins det jo kurver som passererer gjennom alle punkter i f.eks. enhetskvadratet, http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve

, men dette blir vel mer å regne som et patologisk moteksempel.