Bevise at e^z er en til en på åpen skive.
Posted: 12/07-2010 18:47
Skal bevise at den komplekse eksponentialfunksjonen [tex]e^z[/tex] er en til en, eller injektiv, på alle åpne skiver i [tex]\mathb{C}[/tex].
Planen er å vise at [tex]e^{z_1} = e^{z_2} \Leftrightarrow z_1 = z_2[/tex] for en hvilken som helst åpen skive. Men jeg ser ikke hvordan jeg skal føre argumentet.. Tenkte på å konstruere [tex]z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex] på polarform m. modulus mindre enn pi, men dette vil jo bare være en åpen skive sentrert i origo og ikke en hvilken som helst åpen skive.
Planen er å vise at [tex]e^{z_1} = e^{z_2} \Leftrightarrow z_1 = z_2[/tex] for en hvilken som helst åpen skive. Men jeg ser ikke hvordan jeg skal føre argumentet.. Tenkte på å konstruere [tex]z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex] på polarform m. modulus mindre enn pi, men dette vil jo bare være en åpen skive sentrert i origo og ikke en hvilken som helst åpen skive.