matematikk.net

Skal bevise at den komplekse eksponentialfunksjonen [tex]e^z[/tex] er en til en, eller injektiv, på alle åpne skiver i [tex]\mathb{C}[/tex].

Planen er å vise at [tex]e^{z_1} = e^{z_2} \Leftrightarrow z_1 = z_2[/tex] for en hvilken som helst åpen skive. Men jeg ser ikke hvordan jeg skal føre argumentet.. Tenkte på å konstruere [tex]z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex] på polarform m. modulus mindre enn pi, men dette vil jo bare være en åpen skive sentrert i origo og ikke en hvilken som helst åpen skive.

Hint: [tex]e^z=e^w[/tex] gir [tex]e^{z-w}=1[/tex].

Okei. Så hvis jeg lar [tex]z[/tex] og [tex]w[/tex] være to komplekse tall innenfor en åpen skive med radius [tex]\pi[/tex], så har vi at

[tex]e^{z} = e^w \Leftrightarrow e^{z-w} =1 \Leftrightarrow z-w = 2k\pi i[/tex] for [tex]k \in \mathbf{Z}[/tex]. Men siden de to komplekse tallene er innenfor en åpen skive med radius pi, så må differansen mellom dem være mindre enn to pi og dermed må [tex]k=0[/tex], sa [tex]z=w[/tex].