Parametriske kurver og derivasjon
Posted: 27/07-2010 12:57
Hei.
I enkelte oppgaver blir jeg bedt om å drøfte hvorvidt en gitt parametrisk kurve er "smooth" eller "cusp" i et bestemt punkt.
La oss si at man f.eks. er gitt at x = t^3 og y = t^2. Da er jo dette grei skuring. Vi finner dx/dt = 3(t^2) og dy/dt = 2t. Begge disse uttrykkene gir 0 for t = 0, så vi må teste grenseverdien på dette punktet.
Videre ser vi at i dette tilfellet er x en funksjon av y ettersom y ikke har entydige løsninger (f.eks. vil y være lik for t = -1 og for t = 1).
Man finner så dy/dx = 2t / 3(t^2) = 2/3t som går mot + [symbol:uendelig] og - [symbol:uendelig] avhengig om vi nærmer oss nullpunktet fra positive eller negative verdier for t. Dette er ikke en entydig grenseverdi, altså er funksjonen cusp.
I noen oppgaver er jeg imidlertid gitt følgende:
x = t^3 og y = t - sin(t).
Jeg vet selvsagt hvordan man finner dx/dt og dy/dt, men jeg ser videre i følge fasiten at man her har definert y som en funksjon av x, og ikke x som en funksjon av y. Hva er grunnen til dette? Vil man ikke her ha entydige løsninger for x uansett hvilken verdi man velger for t? x er jo lik t^3 akkurat som i første problemstilling nevnt her.
Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette til meg!
I enkelte oppgaver blir jeg bedt om å drøfte hvorvidt en gitt parametrisk kurve er "smooth" eller "cusp" i et bestemt punkt.
La oss si at man f.eks. er gitt at x = t^3 og y = t^2. Da er jo dette grei skuring. Vi finner dx/dt = 3(t^2) og dy/dt = 2t. Begge disse uttrykkene gir 0 for t = 0, så vi må teste grenseverdien på dette punktet.
Videre ser vi at i dette tilfellet er x en funksjon av y ettersom y ikke har entydige løsninger (f.eks. vil y være lik for t = -1 og for t = 1).
Man finner så dy/dx = 2t / 3(t^2) = 2/3t som går mot + [symbol:uendelig] og - [symbol:uendelig] avhengig om vi nærmer oss nullpunktet fra positive eller negative verdier for t. Dette er ikke en entydig grenseverdi, altså er funksjonen cusp.
I noen oppgaver er jeg imidlertid gitt følgende:
x = t^3 og y = t - sin(t).
Jeg vet selvsagt hvordan man finner dx/dt og dy/dt, men jeg ser videre i følge fasiten at man her har definert y som en funksjon av x, og ikke x som en funksjon av y. Hva er grunnen til dette? Vil man ikke her ha entydige løsninger for x uansett hvilken verdi man velger for t? x er jo lik t^3 akkurat som i første problemstilling nevnt her.
Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette til meg!