matematikk.net

Hei.

I enkelte oppgaver blir jeg bedt om å drøfte hvorvidt en gitt parametrisk kurve er "smooth" eller "cusp" i et bestemt punkt.

La oss si at man f.eks. er gitt at x = t^3 og y = t^2. Da er jo dette grei skuring. Vi finner dx/dt = 3(t^2) og dy/dt = 2t. Begge disse uttrykkene gir 0 for t = 0, så vi må teste grenseverdien på dette punktet.

Videre ser vi at i dette tilfellet er x en funksjon av y ettersom y ikke har entydige løsninger (f.eks. vil y være lik for t = -1 og for t = 1).

Man finner så dy/dx = 2t / 3(t^2) = 2/3t som går mot + [symbol:uendelig] og - [symbol:uendelig] avhengig om vi nærmer oss nullpunktet fra positive eller negative verdier for t. Dette er ikke en entydig grenseverdi, altså er funksjonen cusp.

I noen oppgaver er jeg imidlertid gitt følgende:

x = t^3 og y = t - sin(t).

Jeg vet selvsagt hvordan man finner dx/dt og dy/dt, men jeg ser videre i følge fasiten at man her har definert y som en funksjon av x, og ikke x som en funksjon av y. Hva er grunnen til dette? Vil man ikke her ha entydige løsninger for x uansett hvilken verdi man velger for t? x er jo lik t^3 akkurat som i første problemstilling nevnt her.

Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette til meg!

"jeg ser videre i følge fasiten at man her har definert y som en funksjon av x, og ikke x som en funksjon av y. Hva er grunnen til dette?"

Det er vel ikke mulig å isolere t i y=t-sin(t).

Derfor er det hensiktsmessig å skrive y som funksjon av x og ikke omvendt.

plutarco wrote:"jeg ser videre i følge fasiten at man her har definert y som en funksjon av x, og ikke x som en funksjon av y. Hva er grunnen til dette?"

Det er vel ikke mulig å isolere t i y=t-sin(t).

Derfor er det hensiktsmessig å skrive y som funksjon av x og ikke omvendt.

OK. Det høres logisk ut.

Jeg har forøvrig tegnet kurven på graf-papir. Det virker som at det ikke er flertydige verdier for hverken x eller y. Kan man da velge om man vil definere funksjonen for x eller y? Jeg har forsøkt begge deler, og begge gir samme løsning.

Tenker du på hvorvidt y=f(x) og x=g(y) (betraktet som funksjoner) er entydig i en omegn om (singulariteten, der de deriverte [tex]y_t[/tex] og [tex]x_t[/tex] er 0) x=0 ?

Jeg antar at problemstillingen er å finne singulære punkter og avgjøre hva slags type de er. Hvordan lyder egentlig oppgaven ordrett?

Hei.

Oppgaven lyder:

Where, if anywhere, does the following parametric curve fail to be smooth?

Med de gitte parametrene under.