matematikk.net

La [symbol:funksjon] være en reell funksjon på [a, b]. Anta at funksjonen er begrenset og at den er kontinuerlig på hele [a, b] bortsett fra i et eneste punkt, c, som ligger på [a,b]. Begrunn at funksjonen er integrerbar på [a, b].


OK. Dette er en oppgave som jeg kan løse ganske greit ved å ta som eksempel funksjonen definert som følger:

En funksjon er definert på [1, 3] hvor f(x) = 1 for på intervallene [1, 2) og (2, 3]. I punktet 2 er f(x) = 2.

Jeg deler inn i partisjoner P: {1, 2 - (ϵ/3), 2 + (ϵ/3), 1}.

Da får vi:

L(f, p) = (1 - (ϵ/3))*1 + (2ϵ/3)*1 + (1 - (ϵ/3))*1 = 2.

U(f, p) = (1 - (ϵ/3))*1 + (2ϵ/3)*2 + (1 - (ϵ/3))*1 = 2 + (2ϵ/3).

Videre får vi altså:

U(f, p) - L(f, p) = 2 + (2ϵ/3) - 2 = (2ϵ/3) < ϵ.

Altså har jeg nå bevist at funksjonen er Riemann integrerbar.

Jeg er imidlertid litt usikker på om det er greit at jeg løser oppgaven ved å velge en funksjon for å illustrere problemet, eller om jeg bør kun forholde meg til den gitte informasjonen uten å selv definere en funksjon. Da blir imidlertid oppgaven litt rotete. La oss si at hver partisjon gir en nedre Riemann-sum, m, og en øvre Riemann-sum, M. Da har vi:

P: [a, c - (ϵ/3), c + (ϵ/3), b}.

Får så:

L(f, p) = (c - (ϵ/3) - a)*m(1) + (2ϵ/3)*m(2) + (b - c - (ϵ/3))*m(3)

U(f, p) = (c - (ϵ/3) - a)*M(1) + (2ϵ/3)*M(2) + (b - c - (ϵ/3))*M(3).

Som videre gir:

U(f, p) - L(f, p) = (c - (ϵ/3) - a)*(M(1) - m(1)) + (2ϵ/3)*(M(2) - m(2)) + (b - c - (ϵ/3))*(M(3) - m(3)).

Men hvordan skal jeg i så fall vise at dette lange svaret er mindre enn ϵ?

Vet at dette er langt og knotete, men håper noen kan være så snill å svare meg på hvordan man skal løse den gitte oppgaven riktig. Kan jeg eksemplifisere problemet slik jeg har gjort først, eller må jeg gjøre det slik som i siste del, hvor jeg altså har problemer med å se hvordan jeg skal vise at svaret < ϵ?

Du bør vise dette generelt. Det du antagelig kan bruke er at enhver kontinuerlig funksjon på et lukket og begrenset intervall er Riemann integrerbar.

La c være et punkt i [a,b] (antar at a og b er endelige reelle tall). Del opp [a,b] i intervaller [a,c-e], [c-e,c+e] og [c+e,b] (e>0).

På det første og siste intervallet er f kontinuerlig og definert på et lukket og begrenset intervall, så dermed integrerbar. Det midtre kan gjøres så lite som mulig ved å la e gå mot 0.

Takk for svar!

Det du sier er jo foråvidt slik jeg har tenkt . Men i og med at man jo skal vise dette matematisk, og ikke bare forklare det med ord, sliter jeg som sagt litt med å, når jeg kun tar utgangspunkt i de gitte dataene, vise at:

U(f, p) - L(f, p) < e

krje1980 wrote:Takk for svar!

Det du sier er jo foråvidt slik jeg har tenkt . Men i og med at man jo skal vise dette matematisk, og ikke bare forklare det med ord, sliter jeg som sagt litt med å, når jeg kun tar utgangspunkt i de gitte dataene, vise at:

U(f, p) - L(f, p) < e

Ja, riktig. Utfordringen ligger i å skrive det ned på en klar måte.

Du kan jo starte med å la [tex]|f(x)|<k[/tex] på [a,b]. Velg intervaller

[tex][a,c-\frac{e}{4k}][/tex], [tex][c-\frac{e}{4k},c+\frac{e}{4k}][/tex] og [tex][c+\frac{e}{4k},b][/tex],


Siden f er integrerbar på første og siste intervall fins det partisjoneringer av disse slik av differansen mellom øvre og nedre Riemannsum på hver av disse er mindre enn e. På det midtre intervallet bruker vi bare endepunktene som punkter i partisjoneringen. La U1,L1 være øvre og nedre sum for det første intervallet etc. Da er


|U1-L1|<e
|U2-L2|<e
|U3-L3|<e

Trekantulikheten gir deretter at

[tex]|U1+U2+U3-(L1+L2+L3)|=|U1-L1+U2-L2+U3-L3|\leq |U1-L1|+|U2-L2|+|U3-L3|=3e[/tex]

Så differansen mellom øvre og nedre sum kan gjøres vilkårlig liten, ergo er f Riemann integrerbar på hele [a,b]

Takk skal du ha! Det er egentlig ganske likt slik jeg har tenkt, så det er godt å vite at jeg ikke er på villspor .