Bevise Riemann integrerbarhet
Posted: 30/07-2010 21:08
La [symbol:funksjon] være en reell funksjon på [a, b]. Anta at funksjonen er begrenset og at den er kontinuerlig på hele [a, b] bortsett fra i et eneste punkt, c, som ligger på [a,b]. Begrunn at funksjonen er integrerbar på [a, b].
OK. Dette er en oppgave som jeg kan løse ganske greit ved å ta som eksempel funksjonen definert som følger:
En funksjon er definert på [1, 3] hvor f(x) = 1 for på intervallene [1, 2) og (2, 3]. I punktet 2 er f(x) = 2.
Jeg deler inn i partisjoner P: {1, 2 - (ϵ/3), 2 + (ϵ/3), 1}.
Da får vi:
L(f, p) = (1 - (ϵ/3))*1 + (2ϵ/3)*1 + (1 - (ϵ/3))*1 = 2.
U(f, p) = (1 - (ϵ/3))*1 + (2ϵ/3)*2 + (1 - (ϵ/3))*1 = 2 + (2ϵ/3).
Videre får vi altså:
U(f, p) - L(f, p) = 2 + (2ϵ/3) - 2 = (2ϵ/3) < ϵ.
Altså har jeg nå bevist at funksjonen er Riemann integrerbar.
Jeg er imidlertid litt usikker på om det er greit at jeg løser oppgaven ved å velge en funksjon for å illustrere problemet, eller om jeg bør kun forholde meg til den gitte informasjonen uten å selv definere en funksjon. Da blir imidlertid oppgaven litt rotete. La oss si at hver partisjon gir en nedre Riemann-sum, m, og en øvre Riemann-sum, M. Da har vi:
P: [a, c - (ϵ/3), c + (ϵ/3), b}.
Får så:
L(f, p) = (c - (ϵ/3) - a)*m(1) + (2ϵ/3)*m(2) + (b - c - (ϵ/3))*m(3)
U(f, p) = (c - (ϵ/3) - a)*M(1) + (2ϵ/3)*M(2) + (b - c - (ϵ/3))*M(3).
Som videre gir:
U(f, p) - L(f, p) = (c - (ϵ/3) - a)*(M(1) - m(1)) + (2ϵ/3)*(M(2) - m(2)) + (b - c - (ϵ/3))*(M(3) - m(3)).
Men hvordan skal jeg i så fall vise at dette lange svaret er mindre enn ϵ?
Vet at dette er langt og knotete, men håper noen kan være så snill å svare meg på hvordan man skal løse den gitte oppgaven riktig. Kan jeg eksemplifisere problemet slik jeg har gjort først, eller må jeg gjøre det slik som i siste del, hvor jeg altså har problemer med å se hvordan jeg skal vise at svaret < ϵ?
OK. Dette er en oppgave som jeg kan løse ganske greit ved å ta som eksempel funksjonen definert som følger:
En funksjon er definert på [1, 3] hvor f(x) = 1 for på intervallene [1, 2) og (2, 3]. I punktet 2 er f(x) = 2.
Jeg deler inn i partisjoner P: {1, 2 - (ϵ/3), 2 + (ϵ/3), 1}.
Da får vi:
L(f, p) = (1 - (ϵ/3))*1 + (2ϵ/3)*1 + (1 - (ϵ/3))*1 = 2.
U(f, p) = (1 - (ϵ/3))*1 + (2ϵ/3)*2 + (1 - (ϵ/3))*1 = 2 + (2ϵ/3).
Videre får vi altså:
U(f, p) - L(f, p) = 2 + (2ϵ/3) - 2 = (2ϵ/3) < ϵ.
Altså har jeg nå bevist at funksjonen er Riemann integrerbar.
Jeg er imidlertid litt usikker på om det er greit at jeg løser oppgaven ved å velge en funksjon for å illustrere problemet, eller om jeg bør kun forholde meg til den gitte informasjonen uten å selv definere en funksjon. Da blir imidlertid oppgaven litt rotete. La oss si at hver partisjon gir en nedre Riemann-sum, m, og en øvre Riemann-sum, M. Da har vi:
P: [a, c - (ϵ/3), c + (ϵ/3), b}.
Får så:
L(f, p) = (c - (ϵ/3) - a)*m(1) + (2ϵ/3)*m(2) + (b - c - (ϵ/3))*m(3)
U(f, p) = (c - (ϵ/3) - a)*M(1) + (2ϵ/3)*M(2) + (b - c - (ϵ/3))*M(3).
Som videre gir:
U(f, p) - L(f, p) = (c - (ϵ/3) - a)*(M(1) - m(1)) + (2ϵ/3)*(M(2) - m(2)) + (b - c - (ϵ/3))*(M(3) - m(3)).
Men hvordan skal jeg i så fall vise at dette lange svaret er mindre enn ϵ?
Vet at dette er langt og knotete, men håper noen kan være så snill å svare meg på hvordan man skal løse den gitte oppgaven riktig. Kan jeg eksemplifisere problemet slik jeg har gjort først, eller må jeg gjøre det slik som i siste del, hvor jeg altså har problemer med å se hvordan jeg skal vise at svaret < ϵ?