Lukkede mengder i metriske rom
Posted: 04/08-2010 11:07
Hei! På flere nettsteder, bl.a. wikipedia, står det at
“the set A=[0,1] ∩ Q of rational numbers between 0 and 1 (inclusive) is closed in the space of rational numbers, but A= [0,1] ∩ Q is not closed in the real numbers”
Definisjonen på en lukket mengde er jo at mengden skal inneholde alle sine egne grenser.
Men hvis vi fra A lager en følge 1,4 – 1,41 – 1,414 – 1,4142 osv., så er jo dette en konvergent følge hvor alle leddene er fra A,
men følgen konvergerer mot roten av 2, som ikke er i A. Og i så fall inneholder vel ikke A alle sine grenser, uansett om det ”omkring-liggende rom” er de rasjonale tall eller de relle tall?
Hmmm…. Hva er det jeg ikke har fått med meg her?
“the set A=[0,1] ∩ Q of rational numbers between 0 and 1 (inclusive) is closed in the space of rational numbers, but A= [0,1] ∩ Q is not closed in the real numbers”
Definisjonen på en lukket mengde er jo at mengden skal inneholde alle sine egne grenser.
Men hvis vi fra A lager en følge 1,4 – 1,41 – 1,414 – 1,4142 osv., så er jo dette en konvergent følge hvor alle leddene er fra A,
men følgen konvergerer mot roten av 2, som ikke er i A. Og i så fall inneholder vel ikke A alle sine grenser, uansett om det ”omkring-liggende rom” er de rasjonale tall eller de relle tall?
Hmmm…. Hva er det jeg ikke har fått med meg her?