matematikk.net

La A være en symmetrisk 2 × 2 matrise med to ulike egenverdier ƛ(1) og ƛ(2) hvor ƛ(1) [symbol:ikke_lik] ƛ(2). Hvor mange ortogonale 2 X 2 matriser P finnes det slik at

P-1AP =

[ ƛ(1) 0 ]
[ 0 ƛ(2) ]

(Dette skal liksom være en matrise - vet ikke helt hvordan jeg skal få sammenhegende ramme på den).

OK. Her har jeg tenkt som så: I og med at vi har med to ulike egenverdier å gjøre vil vi da ha to ulike og uavhengige egenvektorer. Dette er en symmetrisk matrise slik at vi kan lage P som en ortonormal matrise med de to enhetsvektorene som korresponderer til henholdsvis ƛ(1) og ƛ(2) i de to kolonnene av P. Det jeg imidlertid ikke skjønner er at det i fasiten skal være mulig å lage 4 ulike ortogonale 2 X 2 matriser P som oppfyller den gitte ligningen. Hvordan kommer man frem til dette? Er det ikke slik at hver egenverdi er endimensjonale og derfor kun kan matche en bestemt egenvektor?

Tips til hvordan man finner frem til dette settes stor pris på!

Er det ikke slik at hver egenverdi er endimensjonale og derfor kun kan matche en bestemt egenvektor?

Jo, det skulle man tro. Egenvektorene til [tex]D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}[/tex] er enhetsvektorene [tex]e_1[/tex] og [tex]e_2[/tex].

Egenverdiene til [tex]P^{-1}AP[/tex] er de samme som til D, [tex]\lambda_1[/tex] og [tex]\lambda_2[/tex]. Men

[tex]P^{-1}APe_1 = \lambda_1e_1 \Leftrightarrow P^{-1}A(Pv) = P^{-1}\lambda_1(Pe_1) \Leftrightarrow A(Pe_1) = \lambda_1(Pe_1)[/tex]

det vil si at [tex]Pe_1[/tex] er egenvektoren til A med egenverdi [tex]\lambda_1[/tex]. På samme måte er [tex]Pe_2[/tex] egenvektoren til A med egenverdi [tex]\lambda_2[/tex]. I og med at egenverdiene er forskjellige har vi unike normaliserte egenvektorer for hver av dem. Dette spesifiserer en unik P (hvis P er ortonormal), så det finnes kun èn matrise P som er slik.

Takk for svar!

Jeg klarte å finne et mer fyldig løsningsforslag til oppgaven. Her står det:

"Vi skriver P på formen P = [v1, v2], hvor søylevektorene v1 og v2
er enhetsvektorer. Betingelsen i oppgaven er ekvivalent til at v1 er en egenvektor med egenverdi ƛ1 og at v2 er en egenvektor med egenverdi ƛ2. Da A har to ulike egenverdier har hvert egenrom dimensjon 1, så spesielt inneholder hvert egenrom nettopp to enhetsvektorer. Dermed er det fire ulike ortogonale matriser P som oppfyller betingelsene."

Jeg forstår imidlertid ikke resonnementet som gis her. Jeg er med helt frem til det står "Da A har to ulike egenverdier har hvert egenrom dimensjon 1, så spesielt inneholdet hvert egenrom nettopp to enhetsvektorer".

Hvorfor har hvert egetrom to enhetsvektorer? Hvordan kan et endimensjonelt egenrom ha to enhetsvektorer?

Jo, selvsagt: det er snakk om fortegn her. Dersom v er en enhetsvektor, er -v det også. Det gir to enhetsvektorer for hvert rom av dimensjon 1.

Takk igjen for svar.

Var ikke klar ovet at -v også regnes som enhetsvektor. Regner da med at de fire mulighetene er:

[v1, v2]

[- v1, v2]

[v1, - v2]

[- v1, - v2]

Stemmer dette?

Ja, det stemmer. At -v regnes som enhetsvektor når v er det er klart når man regner ut lengden av den.

Charlatan wrote:Ja, det stemmer. At -v regnes som enhetsvektor når v er det er klart når man regner ut lengden av den.

Ja, det stemmer selvsagt. Sjekket også at dette stemte ved å ta [- v, v] i en lignende oppgave, og jeg fikk samme svar som med [v, v].

Du må derfor ha en stor takk for hjelpen! Setter veldig stor pris på det!