matematikk.net

Hvis [tex]P(z) = a_0 + a_1z + ... + a_nz^n[/tex] og [tex]max|P(z)| = M[/tex] for [tex]|z| = 1[/tex], så skal jeg vise at alle koeffisientene også er begrenset av [tex]M[/tex]. Ser ikke helt hvordan jeg skal vise det.

Jeg har en følelse om at du skal bruke Cauchy-Hadamard teoremet her - http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2% ... rd_theorem

men garanterer ingenting - mange år siden dette her nå

Kom du noen vei med denne?

Har gått og tenkt på den en stund, men tror jeg må gi opp!

Kan det være noe ala:

Du vet at [tex]\mathrm{max}|P(z)| = \mathrm{max}|\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n| = M[/tex]

Dermed

[tex]|\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n| \leq \sum_{n=0}^{\infty}|a_nz^n| = \sum_{n=0}^{\infty}|a_n| \leq M[/tex] siden [tex]|z| = 1[/tex] (og den første overgangen gjelder pga triangelulikheten).

Hvordan konkluderer du med den siste ulikheten? Hvis [tex]a \leq M[/tex], og [tex]a \leq b[/tex], så betyr ikke det at [tex]b \leq M[/tex].

Mulig dette kan gjøres enklere, men her er et forslag til en løsning i hvert fall.

Anta for å oppnå motsigelse at [tex]|a_k| > M[/tex] for en k.

La [tex]Q(z) = z^{-k}P(z) = a_0z^{-k}+...+a_k+...+a_nz^{n-k}[/tex].

I så fall er [tex]|Q(z)|=|z^{-k}||P(z)| = |P(z)| \leq M[/tex] for |z| = 1.

La [tex]w = e^{i\frac{2\pi}{n}}[/tex], og la i og r være et heltall slik at 0 < r < n og 0 < i < n, hvor [tex]d = \gcd(r,n)[/tex] og [tex]r_1=\frac{r}{d}[/tex].
Skriv [tex]i = \frac{n}{d}i_1+i_2[/tex]. I så fall er

[tex](w^r)^i = w^{r_1d(\frac{n}{d}i_1+i_2)}w^{r_1ni_1+r_1di_2}=w^{r i_2}[/tex]

Ved å bruke dette får vi at [tex]\sum^{n-1}_{i = 0} (w^r)^i = d\sum^{\frac{n}{d}-1}_{i = 0} (w^r)^i[/tex]
hvor [tex]\gcd(r_1,\frac{n}{d}) = 1[/tex]. I så fall er [tex]w^r=(w^d)^{r_1}[/tex] en primitiv [tex]\frac{n}{d}[/tex]'te enhetsrot, som betyr at [tex]\sum^{\frac{n}{d}-1}_{i = 0} (w^r)^i = 0[/tex], og det medfører at [tex]\sum^{n-1}_{i = 0} (w^r)^i = 0[/tex], for enhver 0 < r < n.

Dessuten er [tex]\sum^{n-1}_{i=0}(w^{-r})^i = \sum^{n-1}_{i=0}(w^{n-r})^i = 0[/tex] ettersom 0 < r < n medfører at n > n-r > 0.

Bruker vi det ovenfor får vi at

[tex]|\sum^{n-1}_{i=0}Q(w^i)| = |a_0\sum^{n-1}_{i=0} (w^{-k})^i + a_1\sum^{n-1}_{i=0} (w^{1-k})^i + ...+ na_k + ...+ a_n\sum^{n-1}_{i=0} (w^{n-k})^i| = |a_0 \cdot 0 +...+na_k+...+a_n\cdot 0| = n|a_k|[/tex].

Men samtidig av trekantulikheten er
[tex]|\sum^{n-1}_{i=0}Q(w^i)| \leq \sum^{n-1}_{i=0}|Q(w^i)| \leq \sum^{n-1}_{i=0}M = nM[/tex]
siden [tex]|w^i| = 1[/tex] for alle i.

Det betyr at [tex]n|a_k| \leq nM[/tex], eller [tex]|a_k| \leq M[/tex] som er umulig. Alle koeffisientene er altså begrenset av M.

Charlatan wrote:Hvordan konkluderer du med den siste ulikheten? Hvis [tex]a \leq M[/tex], og [tex]a \leq b[/tex], så betyr ikke det at [tex]b \leq M[/tex].

Hehe, det er helt sant. For hold meg unna i fremtiden.

Nei jeg kom ingen vei. Skulle aldri ha gått inn på denne tråden før jeg la meg. Endte opp med en veldig dårlig natt søvn :p