matematikk.net

Hei. Jeg skal prøve å generalisere binominal teoremet for komplekse tall via taylor rekker og vise at:

(*)[tex](1+z)^\alpha = 1 + \alpha z + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2}z^2 + \frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha - 2)}{6}z^3 + ...[/tex].

Men deriverer jeg [tex](1+z)^\alpha[/tex] og evaluerer i z=0 får jeg jo [tex]1^\alpha, \alpha 1^{\alpha -1}, \alpha(\alpha - 1)1^{\alpha -2}[/tex],... osv.
og 1 opphøyd i et komplekst tall er vel nødvendigvis ikke 1? Hvordan kan da * være riktig?

1 opphøyd i et komplekst tall er 1, jo, så dette stemmer fint. [tex]1^z=e^{z \ln 1} = e^{z +\cdot 0} =1[/tex].

EDIT: Bare glem det, definisjonen for reelle grunntall er som Karl Erik sier [tex]e^{\log 1 z} = 1[/tex], men for komplekse grunntall velger man vel gjerne prinsipalverdien. Det resulterer i en ikke-kontinuerlig funksjon langs den negative relle aksen.

Så det er ikke prinsipalverdien man skal velge? Isåfall blir jo feks
[tex]1^i = e^{i\log1} = e^{i(ln1 + i2k\pi)} =e^{-2k\pi}, \ k \in \mathbb{Z}[/tex]..

Jo, for relle positive tall er det i hvert fall slik.

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... _numbers_2

Men hvis variabelen z i [tex](1+z)^{\alpha}[/tex] er kompleks, så gir det ikke-kontinuitet langs den reelle negative aksen hvis man velger prinsipalverdien. Prinsipalverdien er definert som potensen der grunntallets vinkel ligger i (-[symbol:pi],[symbol:pi]].

Men selvsagt, ettersom denne er definert om 0 så byr ikke det på noe problem.