Kompleks binominalteorem.
Posted: 13/08-2010 20:42
Hei. Jeg skal prøve å generalisere binominal teoremet for komplekse tall via taylor rekker og vise at:
(*)[tex](1+z)^\alpha = 1 + \alpha z + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2}z^2 + \frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha - 2)}{6}z^3 + ...[/tex].
Men deriverer jeg [tex](1+z)^\alpha[/tex] og evaluerer i z=0 får jeg jo [tex]1^\alpha, \alpha 1^{\alpha -1}, \alpha(\alpha - 1)1^{\alpha -2}[/tex],... osv.
og 1 opphøyd i et komplekst tall er vel nødvendigvis ikke 1? Hvordan kan da * være riktig?
(*)[tex](1+z)^\alpha = 1 + \alpha z + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2}z^2 + \frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha - 2)}{6}z^3 + ...[/tex].
Men deriverer jeg [tex](1+z)^\alpha[/tex] og evaluerer i z=0 får jeg jo [tex]1^\alpha, \alpha 1^{\alpha -1}, \alpha(\alpha - 1)1^{\alpha -2}[/tex],... osv.
og 1 opphøyd i et komplekst tall er vel nødvendigvis ikke 1? Hvordan kan da * være riktig?