matematikk.net

Skal bevise en generell formel for den j-te deriverte av produktet (fg).

[tex]\large{(fg)^{(j)} = \sum_{l=0}^j j!\frac{f^{(j-l)}}{(j-l)!} \cdot \frac{g^{(l)}}{l!}}[/tex].
I induksjonssteget gjorde jeg som følger..

[tex](fg)^{(j+1)} = ((fg)^{(j)})^\prime = \left(\sum_{l=0}^j j!\frac{f^{(j-l)}}{(j-l)!} \cdot \frac{g^{(l)}}{l!}\right)^\prime = \sum_{l=0}^j j!\frac{1}{(j-l)!} \cdot \frac{1}{l!}\left(f^{(j+1-l)}g^{(l)} + f^{(j-l)}g^{(l+1)}\right)[/tex]

Noen innvendinger om hvordan jeg kan få dette til å bli
[tex](fg)^{(j)} = \sum_{l=0}^{j+1} (j+1)!\frac{f^{(j+1-l)}}{(j+1-l)!} \cdot \frac{g^{(l)}}{l!}[/tex]?

Skriv [tex](fg)^{(n+1)}[/tex] som [tex](f^{\prime}g + fg^{\prime})^{(n)} = (f^{\prime}g)^{(n)} + (fg^{\prime})^{(n)}[/tex] og sammenlign med uttrykket du fikk.

Legg merke til at [tex]\frac{j!}{(j-l)!l!} = { j \choose l}[/tex], og at uttrykket er veldig likt ekspansjonen av [tex](a+b)^n[/tex]