matematikk.net

Jeg føler at jeg etter hvert har veldig god kontroll på oppgaver knyttet til det å vurdere om en rekke konvergerer eller divergerer, men nå sitter jeg fast på to oppgaver! Jeg er nokså sikker på at jeg skal bruke sammenligningstest for å avgjøre konvergens/divergens, men jeg klarer ikke å finne noe fornuftig å sammenligne med! Setter derfor stor pris på tips/hjelp.

De to rekkene er:

[symbol:sum] (1/n)*sin(1/n)

Hvor rekken går fra n = 1 til n = [symbol:uendelig]


[symbol:sum] ( [symbol:rot] n)*sin(1/n)

Hvor rekken går fra n = 1 til n = [symbol:uendelig]

Hm. Kom akkurat på en mulig løsning på første problem:

[symbol:sum] (1/n)*sin(1/n) < [symbol:sum] (1/n)*(1/n) = [symbol:sum] (1/(n^2)) som konvergerer etter p-testen.

Altså må rekken konvergere.

Men er fortsatt stuck på problem 2. . .

Om du gjør en kort Taylor-utvikling av [tex]\sin x[/tex] får du at
[tex]\sqrt{x} \sin \frac{1}{x}=\sqrt{x}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3 3!}+\frac{1}{x^55!}-\cdots)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{\frac 52} 3!}+\frac{1}{x^{\frac 72} 5!}-\cdots[/tex].

Summen [tex]\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}\sin \frac{1}{n}[/tex] vil da ta formen [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}+\mbox{noe som konvergerer}[/tex].

Siden [tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} > \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}[/tex] divergerer dette leddet, og hele summen på også divergere.

(jeg har ikke vært helt nøye med å vise at "rest-rekken" konvergerer. Men pga alle fakultene bør dette være et mindre problem å vise)

Tusen takk!