matematikk.net

Jeg har følgende oppgave:

z^3=8i. Finn alle løsninger.

Jeg har ikke fasit, men har kommet frem til z[size=9]0[/size]= [symbol:rot] 3 +i, z[size=9]1[/size]=- [symbol:rot] 3+i og z[size=9]2[/size]=-2i.

Er dette riktig? og hvordan setter jeg eventuelt prøve på svaret? Kanskje dumt spørsmål, men ser det ikke helt.

Takk for svar. Mvh Mattiz

For å sette prøve på svaret opphøyer du z-verdien til tredje potens.

Hvis du f.eks. hadde fått z = -2 som svar, så måtte du tatt (-2)(-2)(-2) som blir -8, altså feil. Men slik sjekker du svaret.

[tex]z^3=8i[/tex]

Husk at enhetsrøttene er gitt ved [tex]e^{\frac{2\pi i k}{3}}[/tex] når [tex]k=0,1,2[/tex]. Så [tex]\omega_0=e^{\frac{2\pi i \cdot 0}{3}}=1[/tex], [tex]\omega_1=e^{\frac{2\pi i \cdot 1}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], og dermed [tex]\omega_2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].

Så [tex]z=2\omega_i[/tex] ([tex]i=0,1,2[/tex])

Det er en fin øvelse å opphøye disse i tre for å se at svaret stemmer. Tenk også nøye gjennom hvorfor vi har *tre* løsninger.

Du mener nok [tex]z=-2i w_{i}[/tex], for innsetting gir at løsningene ikke stemer helt.

Husker ikke om jeg mente det.

Jeg glemte ihvertfall minus-tegnet foran totallet.

Da ganger man bare løsningene mine med [tex]e^{\frac{\pi i}{3}}[/tex] (tredjeroten av minus én).