Skal løse differensialligningen:
[tex]\frac{d^2 y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} - 4y = 2e^t -8e \delta (t-2)[/tex], hvor y(0)=2 og y'(0)=0.
Har kommet frem til:
[tex]Y = (\frac{\frac{2}{5}}{(s-1)^2} + \frac{\frac{8}{25}}{(s-1)} -\frac{\frac{8}{25}}{(s+4)}) - 8e\cdot e^{-2s}(\frac{\frac{1}{5}}{(s+4)} - \frac{\frac{1}{5}}{(s-1)})[/tex].
Er det noe feil, eller er det rett hittil? Har tatt meg selv i å titte i fasit, og kan ikke helt se hvordan jeg skal komme meg til svaret. Hjelp tas godt imot.
Løsning av differensialligninger ved Laplace-transf.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hvis du har riktig Laplacetransform av det første uttrykket så er det bare å benytte deg av diverse regler for inverstransform, type:
1) [tex]-F^\prime(s) = tf(t)[/tex]
2) [tex]\frac{1}{s-a} = e^{at}[/tex]
3) [tex]e^{-as}G(s) = g(t-a)u(t-a)[/tex]
Med disse tre skal du kunne finne [tex]y(t)[/tex] ganske greit.
1) [tex]-F^\prime(s) = tf(t)[/tex]
2) [tex]\frac{1}{s-a} = e^{at}[/tex]
3) [tex]e^{-as}G(s) = g(t-a)u(t-a)[/tex]
Med disse tre skal du kunne finne [tex]y(t)[/tex] ganske greit.
Takk for svar.
Dette er fra kapittelet før vi lærer å differensiere Laplace-transformasjonene. Derfor er det nok mulig å løse den uten (1).
Problemet er snarere det OM transformasjonen er riktig. Vanskelig å se veien til svaret fra der jeg er nu. Lurer òg på om noe er feil, men jeg klarer ikke se det selv.
Dette er fra kapittelet før vi lærer å differensiere Laplace-transformasjonene. Derfor er det nok mulig å løse den uten (1).
Problemet er snarere det OM transformasjonen er riktig. Vanskelig å se veien til svaret fra der jeg er nu. Lurer òg på om noe er feil, men jeg klarer ikke se det selv.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Har dere hatt om foldning enda? Hvis ikke ser jeg ikke helt hvordan du skal kunne finne inverstransformen uten å benytte deg av enten (1) eller foldning i tidsdomenet.
Det ser ut til at du har faktorisert riktig på VS før du isolerte Y, men jeg vet ikke/har ikke sjekket om delbrøksoppspaltingen din er riktig.
Det ser ut til at du har faktorisert riktig på VS før du isolerte Y, men jeg vet ikke/har ikke sjekket om delbrøksoppspaltingen din er riktig.
Skriver like så godt ny post.
Regnet over en gang til, og kom da frem til noe annet. Siden jeg var ekstra forsiktig denne gangen, og til og med sjekket med en Gauss-Jordan eliminasjonskalkulator regner jeg med at dette er rett:
[tex]Y = (\frac{\frac{2}{5}}{(s-1)^2} - \frac{\frac{2}{25}}{(s-1)} + \frac{\frac{2}{25}}{(s+4)}) - 8e \cdot e^{-2s}(\frac{\frac{1}{5}}{(s-1)} - \frac{\frac{1}{5}}{(s+4)})[/tex].
Om jeg bruker den inverse Laplace-transformasjonen på dette er jeg rimelig sikker på at jeg får et svar som er ulikt det som står i fasit. Sukk.
Regnet over en gang til, og kom da frem til noe annet. Siden jeg var ekstra forsiktig denne gangen, og til og med sjekket med en Gauss-Jordan eliminasjonskalkulator regner jeg med at dette er rett:
[tex]Y = (\frac{\frac{2}{5}}{(s-1)^2} - \frac{\frac{2}{25}}{(s-1)} + \frac{\frac{2}{25}}{(s+4)}) - 8e \cdot e^{-2s}(\frac{\frac{1}{5}}{(s-1)} - \frac{\frac{1}{5}}{(s+4)})[/tex].
Om jeg bruker den inverse Laplace-transformasjonen på dette er jeg rimelig sikker på at jeg får et svar som er ulikt det som står i fasit. Sukk.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Fasitsvar er for øvrig:
[tex]y= (0.4t + 1.52)e^t + 0.48e^{-4t} + 1.6u(t-2) [-e^t + e^{-4t+10}][/tex]
Flere ting jeg lurer på her. Hvor kommer 1.52 og 0.48 fra? 1.6 ser jeg er 8/5, men hvor ble det av e-en? Lurer også litt på hvorfor den siste eksponenten er -4t+10.
[tex]y= (0.4t + 1.52)e^t + 0.48e^{-4t} + 1.6u(t-2) [-e^t + e^{-4t+10}][/tex]
Flere ting jeg lurer på her. Hvor kommer 1.52 og 0.48 fra? 1.6 ser jeg er 8/5, men hvor ble det av e-en? Lurer også litt på hvorfor den siste eksponenten er -4t+10.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Med mindre jeg gjør noe veldig feil får jeg
[tex]y(t) = \left(0.4t+0.08\right)\mathrm{e}^t+0.08\mathrm{e}^{-4t}+1.6\left(-\mathrm{e}^{t-1}+\mathrm{e}^{-4t+9}\right)u(t-2)[/tex].
Jeg får også samme form på eksp.funk når jeg løser det i WolframAlpha, så jeg vil tro det er riktig. Wolfram regnet ikke ut koeffisientene foran alle leddene, så de kan jeg ikke bekrefte helt, men det virker ganske snodig å få de tallene som de har skrevet i fasiten.
[tex]y(t) = \left(0.4t+0.08\right)\mathrm{e}^t+0.08\mathrm{e}^{-4t}+1.6\left(-\mathrm{e}^{t-1}+\mathrm{e}^{-4t+9}\right)u(t-2)[/tex].
Jeg får også samme form på eksp.funk når jeg løser det i WolframAlpha, så jeg vil tro det er riktig. Wolfram regnet ikke ut koeffisientene foran alle leddene, så de kan jeg ikke bekrefte helt, men det virker ganske snodig å få de tallene som de har skrevet i fasiten.
Hehe. Jeg har gjort feil stort sett der det går an å gjøre feil, ser jeg. Uansett har jeg klart å rette det opp, men det jeg sitter igjen med er å finne inverstransformasjonen til:
[tex]\frac{8}{5}e^{-2s+1}(-\frac{1}{(s-1)}+\frac{1}{(s+4)})[/tex].
T-forskyvning?
[tex]\frac{8}{5}e^{-2s+1}(-\frac{1}{(s-1)}+\frac{1}{(s+4)})[/tex].
T-forskyvning?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Dette blir jo to ledd som begge forskyves i tidsdomenet;
La [tex]c = \frac85\mathrm{e}[/tex], da har du
[tex] c\cdot \mathrm{e}^{-2s}\left(G(s)+H(s)\right)[/tex]
Dette blir da [tex]c\left(g(t-2)+h(t-2)\right)u(t-2)[/tex], der du kan finne g og h selv.
La [tex]c = \frac85\mathrm{e}[/tex], da har du
[tex] c\cdot \mathrm{e}^{-2s}\left(G(s)+H(s)\right)[/tex]
Dette blir da [tex]c\left(g(t-2)+h(t-2)\right)u(t-2)[/tex], der du kan finne g og h selv.
Men det samsvarer jo fortsatt ikke med fasit; Det som er problemet.
Dessuten blir det feil fortegn i din utregning, men det er da småting. Hvis [tex]c= \frac{8}{5}e^2[/tex] ville det blitt samme svar, nemlig:
[tex]\frac{8}{5} u(t-2)(-e^t + e^{-4t+10})[/tex].
Denne oppgaven er noe av det verste jeg har vært borti, haha.
Dessuten blir det feil fortegn i din utregning, men det er da småting. Hvis [tex]c= \frac{8}{5}e^2[/tex] ville det blitt samme svar, nemlig:
[tex]\frac{8}{5} u(t-2)(-e^t + e^{-4t+10})[/tex].
Denne oppgaven er noe av det verste jeg har vært borti, haha.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Løste det endelig! Du hadde nok rett i mye av det du skrev. Men selvfølgelig samsvarer det ikke med fasit når jeg har skrevet ned oppgaven feil! Ulovlig mange idiotiske feil i en oppgave. Uansett, takk for hjelpen.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.