I denne oppgaven har jeg allerede svaret via en fasit, men det er et aspekt av svaret jeg lurer på. Setter derfor stor pris på om noen kan forklare dette for meg:
Gitt funksjonen f(x):
f(x) = 1 for x = (1/n), n = 1, 2, 3, . .
f(x) = 2 for x = 1 - (1/n), n = 3, 4, 5, . . .
Vis at funksjonen er Riemann integrerbar på intervallet [0, 1].
SVAR FRA FASIT:
Vi deler inn i partisjoner:
[0, ϵ1] hvor ϵ1 < 1/2
[1 - ϵ3, 1] hvor ϵ3 < 1/2
Da gjenstår det N bestemte punkter med verdi 1 avhengig av ϵ1. Det gjenstår også M bestemte punkter med verdi 2 avhengig av ϵ3. Vi deler inn intervallet inn i et siste subintervall med lengde ϵ2 hvor alle disse punktene er med. Da får vi:
L(f, p) = 0
U(f, p) = ϵ1 + (N + 2M)ϵ2 + 2ϵ3
Vi setter:
ϵ1 < 1/3
ϵ2 < 1/(3(N + 2M))
ϵ3 < 1/6
Da får vi U(f, p) < ϵ/3 + ϵ/3 + ϵ/3 = ϵ
Dermed har vi bevist at funksjonen er Riemann-integrerbar.
MITT SPØRSMÅL:
OK, her er jeg egentlig med på omtrent alt sammen. Det eneste jeg stusser litt på er hvorfor man, når man setter opp at U(f, p) = ϵ1 + (N + 2M)ϵ2 + 2ϵ3, er nødt til å skrive (N + 2M)ϵ2. Intervallet definert på ϵ2 vil jo ha en maksverdi på 2, da det inkluderer både punkter hvor f(x) = 1 og punkter hvor f(x) = 2. Hvorfor kan man ikke da bare skrive:
U(f, p) = ϵ1 + 2ϵ2 + 2ϵ3
For så å sette ϵ1 < 1/3, ϵ2 < 1/6 og ϵ3 < 1/6?
Dersom noen kan gi meg en kort forklaring på dette vill jeg vært svært takknemlig!
Riemann integrerbarhet
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg skjønner ikke helt spørsmålet ditt, dvs. jeg er ikke enig i måten du foreslår å løse oppgaven på.
Poenget er vel at man deler inn intervallet [0,1] i partisjonene [tex][0,\epsilon_1],[1-\epsilon_3,1][/tex] samt små lukkede ikke-overlappende [tex]\frac{\epsilon_2}{2}[/tex]-omegner ([tex]\overline{B}(x;\frac{\epsilon_3}{2})[/tex]) om alle de N+M punktene som er ulik 0 i intervallet [tex][\epsilon_1,1-\epsilon_3][/tex].
Da vil øvre Riemann-sum bli [tex]U(f,p)=\epsilon_1+(N+2M)\epsilon_2+2\epsilon_3[/tex]. Ved å la [tex]\epsilon_1<\frac{\epsilon}{3}, \epsilon_2<\frac{\epsilon}{3(N+2M)}, \epsilon_3<\frac{\epsilon}{3}[/tex] for en [tex]\epsilon>0[/tex], vil den øvre summen bli mindre enn [tex]\epsilon[/tex]. Følgelig kan vi la [tex]\epsilon\to 0[/tex] slik at den øvre summen går mot den nedre, og funksjonen er Riemann integrabel.
Poenget er vel at man deler inn intervallet [0,1] i partisjonene [tex][0,\epsilon_1],[1-\epsilon_3,1][/tex] samt små lukkede ikke-overlappende [tex]\frac{\epsilon_2}{2}[/tex]-omegner ([tex]\overline{B}(x;\frac{\epsilon_3}{2})[/tex]) om alle de N+M punktene som er ulik 0 i intervallet [tex][\epsilon_1,1-\epsilon_3][/tex].
Da vil øvre Riemann-sum bli [tex]U(f,p)=\epsilon_1+(N+2M)\epsilon_2+2\epsilon_3[/tex]. Ved å la [tex]\epsilon_1<\frac{\epsilon}{3}, \epsilon_2<\frac{\epsilon}{3(N+2M)}, \epsilon_3<\frac{\epsilon}{3}[/tex] for en [tex]\epsilon>0[/tex], vil den øvre summen bli mindre enn [tex]\epsilon[/tex]. Følgelig kan vi la [tex]\epsilon\to 0[/tex] slik at den øvre summen går mot den nedre, og funksjonen er Riemann integrabel.
Igjen, tusen takk, plutarco!
Av en eller annen grunn så jeg for meg at ϵ2 var en sammenhengende partisjon mellom de to andre partisjonene. Men jeg har rett og slett misforstått! Det er naturlig nok mye mer logisk at ϵ2 er flere små, lukkede partisjoner som tar for seg alle de punktene hvor funksjonen ikke er 0 som ikke er med i [0, ϵ1] og [1 - ϵ3, 1]. Da forstår jeg løsningsforslaget 100 %
.
Setter stor pris på hjelpen!
Av en eller annen grunn så jeg for meg at ϵ2 var en sammenhengende partisjon mellom de to andre partisjonene. Men jeg har rett og slett misforstått! Det er naturlig nok mye mer logisk at ϵ2 er flere små, lukkede partisjoner som tar for seg alle de punktene hvor funksjonen ikke er 0 som ikke er med i [0, ϵ1] og [1 - ϵ3, 1]. Da forstår jeg løsningsforslaget 100 %
.Setter stor pris på hjelpen!