matematikk.net

Hei.

Vet jeg stiller en del spørsmål her for tiden, men mye av dette er pga at jeg har eksamen om mindre enn tre uker. Dere får ha meg unnskyldt .

OK, er litt usikker på følgende oppgave:

Gitt flaten:

z = x^2 - y^2

Vis at skjæringen mellom flaten og tangentplanet i (1, 1, 0) består av to rette linjer.


OK. Jeg begynner med å finne ligning for tangentplanet:

grad (x, y, z) = 2xi - 2yj - k

I punktet (1, 1, 0) får vi da at ligningen er:

2(x - 1) - 2(y -1) - z

Løser og får:

z = 2x - 2y

Dette er jo greit nok. Når vi nå skal finne skjæringspunktene, setter jeg z-verdien fra tangentplanet inn i den opprinnelige flateligningen, slik at jeg får:

2x - 2y = x^2 - y^2

Vi ender da opp med:

x^2 - 2x = y^2 - 2y

eller:

x(x - 2) = y(y - 2).

Her ser jeg jo klart at y = x er en mulighet. Dette må da være den ene linjen. Men hva er den andre linjen? Jeg ser jo at dette også går opp dersom f.eks. x = 0 og y = 2, eller dersom x = 2 og y = 0. Da er jo ikke y lik x, men hvordan kan jeg formulere dette til en bestemt linje?

Setter stor pris på hjelp!

Jeg går ut fra følgende ligning:

[tex]x^2 - 2x = y^2 - 2y[/tex]

Her er det antagelig lurt å legge til [tex]1[/tex] på begge sider. Dermed får vi at

[tex](x-1)^2=(y-1)^2[/tex]

Av dette følger enkelt nok at

[tex]x-1=\pm (y-1)[/tex] som gir opphav til de to ønskelige linjene.

Tusen takk!

Argh, det er så irriterende å se at jeg ikke klarte å se hvor logisk dette er! Av og til ser man virkelig ikke skogen for bare trær!

Setter stor pris på hjelpen