matematikk.net

Prøve I Integralregning

Fredag 10. September 2010

I alle oppgavene må du vise utregningene for å få full uttelling

Oppgave 1

Deriver funksjonen f gitt ved [tex]f(x) \, = \, \ln(2x^2-x)\left[/tex]



Oppgave 2

Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet.

[tex]a) \qquad\large{\int{ 2x^2 \, + \, \frac{\sqrt[3]{x}}{x^2}}\,-\,\pi}\,dx[/tex]


[tex]b) \qquad\large{\int{e^x\,+\,\frac{3}{x+5}}}\,dx[/tex]

[tex]c) \qquad\large{\int_{-1}^{3}{x^2\,-\,x^3}\,dx[/tex]



Oppgave 3

Funksjonene [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex] er gitt ved

[tex]f(x) \, = \, x^2 \, - \, 2x \, + \, 2[/tex] og [tex] g(x) \, = \, x\, + \, 2[/tex]

[tex]a)[/tex] Tegn grafene til f og g i det samme koordinatsystemet.

[tex]b)[/tex] Regn ut koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene til de to
funksjonene.

[tex]c)[/tex] Finn arealet av det området som er avgrenset av grafene til f og g



Oppgave 4

I[tex]\,1987\, [/tex]ble det født [tex]79 \,000 \,000[/tex] barn.
Gå ut fra at fødselshyppigheten øker eksponentielt med [tex]1.3\percent[/tex] per år i en del år fremmover.

La [tex]f(t)[/tex] bety fødselshyppigheten (antall fødsler per år) etter t år.

[tex]a)[/tex] Finn et uttrykk for [tex]f(t)[/tex]

[tex]b)[/tex] Bruk dette til å finn et tilnærmet tall for antall fødsler i verdien i perioden [tex]\;1987 \, - \, 2010\;[/tex]



Oppgave 5

[tex]a)[/tex] Et flatestykke er avgrenset av den positive x-aksen, linjen [tex]x = a[/tex] og grafen til funksjonen [tex]f(x)\,=\,x^2[/tex]

bestem [tex]a[/tex] slik at arealet av flatestykket blir [tex]9[/tex]

[tex]b)[/tex] funksjonen f gitt ved

[tex]f (x) \, = \, exp{x} \, - \, 1 \; , \; x\in[0\,,\,h][/tex]

Vi roterer denne funksjonen [tex]360^o[/tex] om x-aksen.

Vis at volumet til dette omdreiningslegemet vi får, kan skrives som:

[tex]V\,=\,\frac{\pi}{2}( \, exp{2h} \, - \, 4exp{h} \, + \, 2h+3 \, )[/tex]

Fasit

Oppgave 1

Deriver funksjonen f gitt ved [tex]f(x) \, = \, \ln(2x^2-x)\left[/tex]

[tex]f(x) \, = \, \ln(2x^2-x)\left[/tex]


[tex]f(g(x))^{\tiny\prime}=g^{\tiny\prime}(x)\cdot f^{\tiny\prime}(g(x))[/tex]

Der [tex]f(x)=\ln(g(x))\,[/tex] og [tex]f^{\tiny\prime}(x)=\frac{1}{g(x)}\,[/tex] siden [tex]\,(\ln(x))^{\tiny\prime}=\frac{1}{x}[/tex]

[tex]g(x)=2x^2-x [/tex] og [tex]g^{\tiny\prime}(x)=4x-1[/tex]


[tex]f^{\tiny\prime}(x) \, = \, \frac{1}{g(x)}\cdot g^{\tiny\prime}(x)[/tex]

[tex]f^{\tiny\prime}(x) \, = \, \frac{1}{2x^2-x}\cdot {(4x-1)}[/tex]

[tex]\underline{\underline{f^{\tiny\prime}(x) \, = \, \frac{{4x-1}}{(2x-1)x}}}[/tex]



Oppgave 2

[tex]a) [/tex]
[tex] =\,\large{\int{ 2x^2 \, + \, \frac{\sqrt[3]{x}}{x^2}}\,-\,\pi}\,dx[/tex]

[tex] \, \frac{\sqrt[3]{x}}{x^2}=\frac{x^{1/3}}{x^2}=x^{1/3-2}=x^{-5/3}[/tex]

[tex] = \, \frac{2}{2+1}x^{2+1} \, + \, \frac{1}{1-5/3}x^{-5/3+1}\,-\,\frac{\pi}{0+1}\cdot x^{0+1}+C[/tex]

[tex] = \, \frac{2}{3}x^{3} \, - \, \frac{3}{2}x^{-2/3}\,-\,\pi\cdot x+C[/tex]

[tex]\underline{\underline{ = \, \frac{2}{3}x^{3} \, - \, \frac{3}{2x^{2/3}}\,-\,\pi\,x+C}}[/tex]



[tex]b) [/tex]

[tex]= \int{e^x\,+\,\frac{3}{x+5}}\,dx[/tex]

[tex] = \int {{e^x}\,dx} + 3\int {\frac{1}{{x + 5}}\,dx} [/tex]

[tex] \underline{\underline { = {e^x} \, + \, 3\ln \left| {x + 5} \right| \, + \, C}} [/tex]



[tex]c) [/tex]

[tex] = \int_{ - 1}^3 {{x^2}{ } - { } {x^3}} { } dx [/tex]

[tex] = \left[ {\frac{1}{3}{x^3}{ } - \frac{1}{4}{ } {x^4}} \right]_{ - 1}^3 [/tex]

[tex] = \left( {\frac{1}{3}{{\left( 3 \right)}^3}{ } - \frac{1}{4}{ } {{\left( 3 \right)}^4}} \right) - \left( {\frac{1}{3}{{\left( { - 1} \right)}^3}{ } - \frac{1}{4}{ } {{\left( { - 1} \right)}^4}} \right) [/tex]

[tex] = \left( {9{ } - \frac{{81}}{4}{ } } \right) - \left( { - \frac{1}{3}{ } - \frac{1}{4}{ } } \right)[/tex]

[tex] = \left( {\frac{{108}}{{12}}{ } - \frac{{243}}{{12}}{ } } \right) + \left(\frac{4}{{12}}{ } + \frac{3}{{12}}\right) [/tex]

[tex] = - \frac{{128}}{{12}} [/tex]

[tex]\underline{\underline { = - \frac{{32}}{3}}} [/tex]




Oppgave 3

Funksjonene [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex] er gitt ved

[tex]f(x) \, = \, x^2 \, - \, 2x \, + \, 2[/tex] og [tex] g(x) \, = \, x\, + \, 2[/tex]

[tex]a)[/tex] Tegn grafene til f og g i det samme koordinatsystemet.




[tex]b)[/tex] Regn ut koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene til de to funksjonene.


[tex] {x^2} - 2x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) [/tex]

[tex] {\rm{ }}{x^2} - 3x = 0 [/tex]

[tex] {\rm{ }}\left( {x - 3} \right)x = 0[/tex]

[tex] {\rm{ }}x = 0 \vee x = 3 [/tex]

[tex] g\left( 0 \right) = 2{\rm{ og g}}\left( 3 \right) = 5 [/tex]

[tex]\underline {\underline {{\rm{Skj\ae ringspunktene mellom f og g har koordinatene }}\left( {0,2} \right){\rm{ og }}\left( {3,5} \right)} } [/tex]



[tex]c)[/tex] Finn arealet av det området som er avgrenset av grafene til f og g

[tex] = \int\limits_0^3 {f\left( x \right) - g\left( x \right)} {\rm{ }}dx [/tex]

[tex] = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)} {\rm{ }}dx [/tex]

[tex] = \int\limits_0^3 {{x^2} - 3x} {\rm{ }}dx [/tex]

[tex] = \left[ {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2}} \right]_0^3 [/tex]

[tex] = \left( {\frac{1}{3}{{\left( 3 \right)}^3} - \frac{3}{2}{{\left( 3 \right)}^2}} \right) - \left( {\frac{1}{3}{{\left( 0 \right)}^3} - \frac{3}{2}{{\left( 0 \right)}^2}} \right) [/tex]

[tex] = (9 - \frac{{27}}{2})-(0-0) [/tex]

[tex] = - \frac{9}{2} [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{Arealet mellom funksjonene g}}\left( x \right)\,{\rm{ og f}}\left( x \right) \, er \, \frac{9}{2}}}[/tex]




Oppgave 4

I[tex]\,1987\, [/tex]ble det født [tex]79 \,000 \,000[/tex] barn.
Gå ut fra at fødselshyppigheten øker eksponentielt med [tex]1.3\percent[/tex] per år i en del år fremover.

La [tex]f(t)[/tex] bety fødselshyppigheten (antall fødsler per år) etter t år.

[tex]a)[/tex] Finn et uttrykk for [tex]f(t)[/tex]

[tex]f\left( t \right) = 7.9 \cdot {10^7} \cdot {1.013^t}[/tex]


[tex]b)[/tex] Bruk dette til å finne et tilnærmet tall for antall fødsler i verdien i perioden [tex]\;1987 \, - \, 2010\;[/tex]

[tex] 2010 - 1987 = 23 [/tex]

[tex] = \int\limits_0^{23} {7.9 \cdot {{10}^7} \cdot {{1.013}^t}dt} [/tex]

[tex] = \left[ {7.9 \cdot {{10}^7} \cdot \frac{{{{1.013}^t}}}{{\ln 1.013}}} \right]_0^{23} [/tex]

[tex] \underline { \approx 2.115725682 \cdot {{10}^9}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{ Det ble f{\o}dt ca 2.1 milliarder barn mellom 1987 og 2010}}}} [/tex]


Oppgave 5

[tex]a)[/tex] Et flatestykke er avgrenset av den positive x-aksen, linjen [tex]x = a[/tex] og grafen til funksjonen [tex]f(x)\,=\,x^2[/tex]

bestem [tex]a[/tex] slik at arealet av flatestykket blir [tex]9[/tex]

[tex] \int\limits_0^a {f\left( x \right)\,dx} = 9 [/tex]

[tex] \int\limits_0^a {{x^2}\,dx} = 9 [/tex]

[tex] \left[ {\frac{1}{3}{x^3}} \right]_0^a = 9 [/tex]

[tex] \frac{1}{3}{a^3} = {3^2} [/tex]

[tex] a = \sqrt[3]{{{3^3}}} [/tex]

[tex] a = 3 [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{Arealet av flatestykket blir 9 n{\aa}r a er 3}}}} [/tex]


[tex]b)[/tex] funksjonen f gitt ved

[tex]f (x) \, = \, exp{x} \, - \, 1 \; , \; x\in[0\,,\,h][/tex]

Vi roterer denne funksjonen [tex]360^o[/tex] om x-aksen.

Vis at volumet til dette omdreiningslegemet vi får, kan skrives som:

[tex]V\,=\,\frac{\pi}{2}( \, exp{2h} \, - \, 4exp{h} \, + \, 2h \, + \, 3 \, )[/tex]


[tex] = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}{\rm{ }}} dx [/tex]

[tex] = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}} {\rm{ }}dx [/tex]

[tex] = \pi \int\limits_0^h {{e^{2x}} - 2{e^x} + 1{\rm{ }}} dx [/tex]

[tex] = \pi \left[ {\frac{1}{2}{e^{2x}} - 2{e^x} + x} \right]_0^h [/tex]

[tex] = \pi \left( {\left( {\frac{1}{2}{e^{2h}} - 2{e^h} + h} \right) - \left( {\frac{1}{2}{e^{2 \cdot 0}} - 2{e^0} + 0} \right)} \right) [/tex]

[tex] = \pi \left( {\left( {\frac{1}{2}{e^{2h}} - 2{e^h} + h} \right) - \left( {\frac{1}{2} - 2} \right)} \right) [/tex]

[tex] = \pi \left( {\frac{1}{2}{e^{2h}} - 2{e^h} + h + \frac{3}{2}} \right) [/tex]

[tex] \underline{\underline { = \frac{\pi }{2}\left( \, {{e^{2h}} \, - \, 4{e^h} \, + \, 2h \, + \, 3 \, } \right)}} [/tex]

Q.E.D

--------------------------------------------------

Phew