matematikk.net

Oppgave:

Finn en verdi for konstanten c slik at for hvert skjæringspunkt mellom de to
kuleflatene

(x - c)^2 + y^2 + z^2 = 3

x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 1,

så er de tilhørende tangentplanene vinkelrett på hverandre.


OK, står litt fast her. Jeg har regnet ut gradienten til den første kulen:

(2x - 2c)i + 2yj + 2zk

Og gradienten til den andre kulen:

2xi + (2y - 2)j + 2zk

For at tangentplanene skal så vinkelrett på hverandre må skalarproduktet for likningene til de to tangentplanene være 0. Dersom jeg tar skalarproduktet til de to gradientene og setter lik 0 får jeg:

4(x^2) - 4cx + 4(y^2) - 4y + 4(z^2) = 0

Jeg vet imidlertid ikke helt hvordan jeg skal fortsette videre. Er det meningen jeg skal regne ut de nøyaktige skjæringspunktene til de to kulene for så å sette disse verdiene inn i de to gradientene? Dersom jeg forsøker å finne skjæringspunktene blir det forferdelig knotete og komplisert. F.eks. dersom jeg tar at z^2 = 1 - x^2 - (y - 1)^2 fra kulelikning to og setter inn dette for z^2 i likningen 1 får vi:

(x - c)^2 + y^2 - x^2 - (y - 1)^2 = 2.

Men dette gjør meg ikke særlig klokere!

Setter derfor veldig stor pris på hjelp/tips!

Kuleflatene har ligninger

[tex]-2cx+x^2 + y^2 + z^2 = 3-c^2[/tex]

[tex]-2y+ 1+ x^2 + y^2 + z^2 = 1[/tex]

Normale tangentplan gir at

[tex]-2cx+2x^2 + 2y^2 - 2y + 2z^2 = 0[/tex]

Hint: Summér de to første ligningene...

plutarco wrote:Kuleflatene har ligninger

[tex]-2cx+x^2 + y^2 + z^2 = 3-c^2[/tex]

[tex]-2y+ 1+ x^2 + y^2 + z^2 = 1[/tex]

Normale tangentplan gir at

[tex]-2cx+2x^2 + 2y^2 - 2y + 2z^2 = 0[/tex]

Hint: Summér de to første ligningene...

Takk for svar.

Jeg har summert de to første ligningene og sitter da igjen med:

[tex]c^2-2cx + 2y - 3[/tex]

Jeg ser imidlertid ikke helt hva jeg skal gjøre videre. Det er fortsatt såpass mange ukjente faktorer at det blir en marerittlikning å sette opp. Prøvde å løse dette som en annengradslikning for c, men det blir stort og knotete likevel.

Problemet er nok enklere enn som så..

Det jeg mente var å addere (ikke subtrahere) ligningene for deretter å bruke den tredje ligningen. Dette gir direkte en ligning kun med "c".

plutarco wrote:Problemet er nok enklere enn som så..

Det jeg mente var å addere (ikke subtrahere) ligningene for deretter å bruke den tredje ligningen. Dette gir direkte en ligning kun med "c".

Ah, selvsagt. Da sitter jeg igjen med c = [symbol:plussminus] [symbol:rot] 3

Tusen takk!