matematikk.net

Bevis ved matematisk induksjon at:

1 + 2 + .... + n = (n^2 + n)/2

kan noen gjøre hele oppg. for meg ? skjønner ikke en driitt !!!!

må gå ut fra
A: bevis at formelen er riktig for en første verdi av n
B: gå ut fra at formelen er riktig for n. Bevis ut fra denne antakelsen at da er formelen også riktig for n+1

Takk!

Nei, jeg har i hvertfall ikke tenkt å gjøre hele oppgaven for deg. Men jeg kan hjelpe deg på vei.

Klarer du å vise at formelen er sann for første verdi av n, altså n = 1?

Neste steg er å vise at hvis du har at formelen er sann for n, så må den også være sann for n + 1. Før du begynner på det, må du prøve å få det klart for deg hva du skal bevise. Hva er det du skal ende opp med etter å ha gjort "algebrajobben"? Poenget med denne formelen er at den sier at når du skal legge sammen tallene fra 1 og opp til det høyeste tallet n, skal du ta det høyeste tallet og gange med det høyeste tallet pluss 1, og så skal du dele dette på 2. Når du har n+1 tall, da må formelen bli slik: [tex]\frac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex]. Ser du hvorfor? Nå er n+1 det høyeste tallet, og formelen sier at du skal ta det høyeste tallet (som nå er n+1) og legge til 1 (da får du n+1+1 = n+2) og så dele på 2.

Når du har klart for deg hva du skal ende opp med, kan du begynne på selve jobben.

Se på summen av tallene fra 1 til n:

[tex]1 + 2 + ... + n[/tex]

Nå ønsker du å legge til et nytt tall, n+1.

[tex]1 + 2 + ... + n + (n+1)[/tex]

Men du har antatt at [tex]1 + 2 + ... + n = \frac{n^2 + n}{2}[/tex] er sant, så da kan du bytte ut summen fra 1 opp til n med denne formelen. Men det nye leddet du la til, blir jo stående igjen:

[tex]1 + 2 + ... + n + (n+1) = \frac{n^2 + n}{2} + (n+1)[/tex]

Hvis du nå ser på høyre side her, kan du trekke sammen:

[tex]\frac{n^2 + n}{2} + (n+1) = \frac{n^2 + n}{2} + \frac{2(n + 1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2}[/tex]

Nå lar jeg det være opp til deg å fullføre beviset. Kan du klare å trekke dette sammen og ende opp med det du skulle vise?

oooh herlig!, skjønte hele greia.. takk og atter takk !