matematikk.net

Hei! Har et spørsmål ang. ei oppgave som eg sliter litt med.
Oppgava er:
"Avgjør om funksjonen
[tex]f(x)=\frac{x^2-4}{|x-2|}[/tex]
er kontinuerlig i x = 2. Begrunn svaret."

Dette er en funksjon som gir [0/0], altså så kan vi løse den ved L'Hôpitals regel. Så vidt eg har fått med meg, så betyr L'Hôpitals regel følgende:

[tex]\lim_{x\to\2}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\2}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}[/tex]

Det gir at
[tex]\lim_{x\to\2}\frac{2x}{|1|}=4[/tex]
og dermed eksisterer grensen i punktet og den er kontinuerlig?

Men!
Dersom vi tar høgre- og venstresidig tilnerming uten L'Hôpitals regel, så får vi:
[tex]\lim_{x\to\text{2+}}\frac{x^2-4}{|x-2|}=1[/tex] og
[tex]\lim_{x\to\text{2-}}\frac{x^2-4}{|x-2|}=-1[/tex]

Siden grensen ikkje er lik, så er ikkje grafen kontinuerlig heller.

Så ka kan eg slutte ut av dette? Blir grafen kontinuerlig eller ikkje? Har eg gjort nokke feil med L'Hôpitals regel (For eksempel berre funne ut om grensen eksisterer, men ikkje om den er kontinuerlig)?

Edit: Trenger svar ganske fort!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 28|2-x|%29

[tex]\lim_{x \, \to \, 2}\,\frac{2x}{|1|} \, = \, \pm \, 4[/tex]

Altså har den to mulige verdier når x=2 og den er ikke sammenhengende

Den funksjonen din f(x) er vel ikke veldefinert i x=2 engang.

Var det eg lurte på da, om eg hadde rota nokke til med L'Hôpitals regel. Kan nokken svare meg på deg? Takk til Nebuchadnezzar for grafisk framstilling av grafen, slik at eg ser svaret

Av L'Hôpitals regel, så får vi at [tex]\lim_{x\to\2}f(x)=\pm4[/tex] (Ikkje 4, som eg skreiv. Glømte at |1| = [tex]\pm[/tex]1, ikkje 1)

Men av høgre- og venstresidig grensene får vi at [tex]\lim_{x\to\2}f(x)=\pm1[/tex]

Ka blir egentlig svaret? Har eg gjort nokke feil på utrekninga til høgre- og venstresidig grense? Av grafen ser eg jo at grensa ikkje går mot [tex]\pm[/tex]1, men mot [tex]\pm[/tex]4...

Vi ser først på grensen fra høyre. Da er x-2>0 så |x-2|=x-2 og vi får brøken

[tex]\frac{x^2-4}{x-2}=x+2[/tex] så grensen fra høyre er +4.

Motsatt får vi brøken

[tex]\frac{x^2-4}{2-x}=\frac{(x+2)(x-2)}{2-x}=-x-2[/tex] så grensen fra venstre er -4.

Konklusjon: Grensen fins ikke siden de to ensidige grensene ikke er like.

Da kan heller ikke funksjonen være kontinuerlig siden kontinuitet i et punkt [tex]a[/tex] impliserer at [tex]\lim_{x\to a}f(x)=f(a)[/tex]

Takk skal du ha plutarco

Ser at dersom eg faktoriserer teljaren, så vil eg få [tex]\pm4[/tex]

Takk for hjelpa eg har fått her Denne tråden kan ansees som løst no