matematikk.net

Hei.

Følgende oppgave skal løses ved inspeksjon, og ikke ved bruk av iterasjon:

[symbol:integral] [symbol:integral] (a - [symbol:rot] ((x^2) + (y^2))

Hvor D: (x^2) + (y^2) < (a^2)


Denne oppgaven klarer jeg å løse helt fint gjennom å tegne det aktuelle uttrykket. Dette blir en kjegle sentrert rundt z-aksen, hvor toppunktet er (0, 0, a) og basen til kjeglen er en sirkel med radius a. Altså blir volumet:

V = (1/3)[symbol:pi](a^3).

Som også stemmer med fasit.

For moro skyld tenkte jeg også å prøve å se om jeg kan løse oppgaven gjennom å først dele opp dobbeltintegralet slik at jeg får:

([symbol:integral] [symbol:integral] a dA ) - ([symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:rot] ((x^2) + (y^2)) dA).

Det første uttrykket blir da, med den gitte D: [symbol:pi] (a^2)*a = [symbol:pi](a^3).

Når jeg så regner ut det siste integralet får jeg en opp-ned kjegle med spissen i (0, 0, 0). Jeg får imidlertid volumet av denne kjeglen til å bli akkurat som den forrige kjeglen: altså (1/3) [symbol:pi] (a^3).

Men da får jeg når jeg legger de to integralene sammen:

[symbol:pi] (a^3) - (1/3) [symbol:pi] (a^3) = (2/3) [symbol:pi] (a^3).

Som jo ikke stemmer med fasit.

Dersom noen kort kan forklare meg hva jeg gjør galt ved denne "alternative" løsningsmetoden ville jeg satt stor pris på det.

krje1980 wrote: Når jeg så regner ut det siste integralet får jeg en opp-ned kjegle med spissen i (0, 0, 0). Jeg får imidlertid volumet av denne kjeglen til å bli akkurat som den forrige kjeglen: altså (1/3) [symbol:pi] (a^3).

Det er riktig at volumet av den såkalte opp-ned kjeglen er det du får (det er jo den samme kjeglen, bare snudd opp-ned), men problemet ligger i at det siste integralet er definert som volumet under denne kjeglen og over xy-planet.

Normal løsning med eksplisitt integrasjon ville vært å utnytte symmetrien i problemet og transformert over til polarkoordinater. Da får man

[tex]\int_0^{2\pi}\int_{0}^a (a-r)r\,drd\theta=2\pi [\frac12 ar^2-\frac13 r^3]_0^a=2\pi (\frac12 a^3-\frac13 a^3)=\frac13 \pi a^3[/tex]

Takk skal du ha!

Jeg har akkurat begynt på kapitlet om dobbelt integrasjon, så teknikken du henviser til har jeg ikke kommet til enda. Den ene seksjonen jeg har jobbet med forventer kun at man skal regne ut integralene ved hjelp av inspeksjon.

Grunnen til at jeg forsøkte å splitte opp integralet er at dette er en metode som blir nevnt i boken som en måte å forenkle integralutregningene. Jeg fikk riktig svar ved å ikke splitte det opp, som vist ovenfor, men ville som sagt også se om jeg fikk samme svar ved oppsplitting.

Basert på svaret ditt ser jeg at det andre integralet kan løses ved å ta volumet av sylinderen definert ved A = [symbol:pi] (a^3) og så trekke fra volumet av opp-ned kjeglen. Da få jeg at arealet av område over xy-planet og under sylinderen blir (2/3) [symbol:pi] (a^3). Da går ligningen opp og jeg får:

[symbol:pi] (a^3) - (2/3) [symbol:pi] (a^3) = (1/3) [symbol:pi] (a^3).

Men hvordan kan jeg vite at det er område under opp-ned kjeglen, og ikke selve kjeglen jeg skal finne volum av?

krje1980 wrote: Basert på svaret ditt ser jeg at det andre integralet kan løses ved å ta volumet av sylinderen definert ved A = [symbol:pi] (a^3) og så trekke fra volumet av opp-ned kjeglen. Da få jeg at arealet av område over xy-planet og under sylinderen blir (2/3) [symbol:pi] (a^3). Da går ligningen opp og jeg får:

[symbol:pi] (a^3) - (2/3) [symbol:pi] (a^3) = (1/3) [symbol:pi] (a^3).

Men hvordan kan jeg vite at det er område under opp-ned kjeglen, og ikke selve kjeglen jeg skal finne volum av?

Stemmer det, men da er vel vitsen borte med å dele opp integralet i to ledd.

Bestemte integraler over positive funksjoner er jo grovt sagt areal/volum mellom grafen og , i dette tilfellet xy-planet, så det burde være greit å se dette ved å tegne opp funksjonen [tex]f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} [/tex]

Hei. Ja, like etter at jeg logget meg av nettet i går innså jeg akkurat det du nevner . Orket ikke å logge på igjen da.

Men igjen - tusen takk for all hjelp!